婚約数 1 と自分自身を除いた約数の和が等しいペア

 婚約数 (betrothed numbers) という、とてもロマンチックな名前の数があります。

婚約数

 婚約数の定義は、

 1 と自分自身を除いた約数の和が互いに等しくなるような、
 異なる自然数の組 (a, b)

です。友愛数 (amicable numbers) が「自分自身を除いた約数の和が互いに等しくなる数の組」ですから、それに準ずる数という意味で、準友愛数 (quasi-amicable numbers) と呼ばれることもあります。
 
 

最小の婚約数

 もっとも小さいペアは (48, 75) です。
 実際に確かめてみましょう。 48 の約数を並べると

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

ですね。この中から 1 と 48 を除いた数の和は

2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 = 75

となります。 75 の約数を並べると

1, 3, 5, 15, 25, 75

で、 1 と 75 を除いた数の和は

3 + 5 + 15 + 25 = 48

となっていますから、確かに (48, 75) は相性ぴったりの婚約数です。
 

2番目に小さな婚約数

 その次に小さな婚約数は (140, 195) です。
 これも確かめてみましょう。 140 の約数を並べると

1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140

となります。 1 と 140 を除いた数の和は

2 + 4 + 5 + 7 + 10 + 14 + 20 + 28 + 35 + 70 = 195

です。一方で 195 の約数を並べると

1, 3, 5, 13, 15, 39, 65, 195

となって、 1 と 195 を除いた数の和は

3 + 5 + 13 + 15 + 39 + 65 = 140

となるので、 (140, 195) も婚約数です。
  

婚約数に関する未解決問題

 婚約数が無数に存在するかどうかという根源的な問題は未だに証明されていません。また、今まで見つかった婚約数の組は

(48, 75), (140, 195), (1050, 1925), (1575, 1648), ...

というように、全て偶数と奇数の組なのですが、これがはたして全ての婚約数について成り立つ性質なのかということもわかっていません。 ≫ 数学よもやま話

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