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婚約数(1と自身を除いた約数和が等しいペア)

今回の記事では、婚約数(betrothed numbers)という、とてもロマンチックな名前の数についてお話します。

婚約数

婚約数の定義は
「1 と自分自身を除いた約数和が互いに等しくなるような、異なる自然数の組」
です。友愛数(amicable numbers)が「自分自身を除いた約数の和が互いに等しくなる数の組」ですから、それに準ずる数という意味で、準友愛数(quasi-amicable numbers)と呼ばれることもあります。

もっとも小さい婚約数のペアは (48, 75) です。
実際に確かめてみましょう。48 の約数を並べると
 
  1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
 
ですね。この中から 1 と 48 を除いた数の和は
 
  2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 = 75
 
となります。75 の約数を並べると
 
  1, 3, 5, 15, 25, 75
 
で、1 と 75 を除いた数の和は
 
  3 + 5 + 15 + 25 = 48
 
となっているので、確かに (48, 75) は相性ぴったりの婚約数です。

その次に小さな婚約数は (140, 195) です。
これも確かめてみましょう。140 の約数を並べると
 
  1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140
 
となります。1 と 140 を除いた数の和は
 
  2 + 4 + 5 + 7 + 10 + 14 + 20 + 28 + 35 + 70 = 195
 
です。一方で 195 の約数を並べると
 
  1, 3, 5, 13, 15, 39, 65, 195
 
となって、 1 と 195 を除いた数の和は
 
  3 + 5 + 13 + 15 + 39 + 65 = 140
 
となるので、(140, 195) も婚約数です。

ちなみに、婚約数が無数に存在するかどうかという根源的な問題は未だに証明されていません。また、今まで見つかった婚約数の組は
 
  (48, 75), (140, 195), (1050, 1925), (1575, 1648), …
 
というように、全て偶数と奇数の組なのですが、これが全ての婚約数について成り立つ性質なのかということもまだわかっていません。

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