0 は実数?

0 は実数? それとも虚数?

 複素数 $z = a + b i$ において $a = b = 0$ とすると $0$ となりますが、この $0$ は 実数なのか、それとも虚数なのか迷ったことはありませんか?

 結論を言うと虚数の定義によって 0 は実数 とされています。

 複素数 $z = a + b i$ において、実数と虚数は以下のように定められています。

  ① $b = 0$ ならば実数
  ② $b \neq 0$ であるときに虚数
  ③ 特に $a = 0$ かつ $b \neq 0$ であるときに純虚数

 $a = b = 0$ のとき $z=0$ となるので、$0$ は条件 ① を満たす数となり、実数の範疇 に含まれることになります。このように定義を丁寧に読めば、疑問は解決しますが、なんとなくもやもやした気分が残りますね。実はハミルトン表式で複素数を扱うと、0 とは 2 組の実数である という明快な定義を得ることができます。
 

ハミルトンの複素数

 William Rowan Hamilton は複素数を2つの実数の組
 
\[\alpha=(a,\ b)\]
として定義しました。たとえば実数 $1$ は
 
\[(1,\ 0)\]
と表し、虚数単位 $i$ は
 
\[(0,\ 1)\]
と表されます。また複素数 $1 + i$ は
 
\[(1,\ 1)\]
となります。この定義では $i$ という虚数単位は一切現れず、ただ実数のみで表記されます。そして任意の2組の複素数
 
\[\alpha=(a,\ b),\quad \beta=(c,\ d)\]
に対して加算と乗算だけを定義しておきます。
 
\[\alpha+\beta=(a+b,\ c+d),\quad \alpha\beta=(ac-bd,\ ad+bc)\]
 この定義にしたがうと、たとえば $i^2$ は
 
\[(0,\ 1)(0,\ 1) = (-1,\ 0)\]
となります。加算が定義されていれば、$\gamma = (e,\ f)$ とおいて、減算 $\gamma = \alpha - \beta$ は $\alpha=\beta+\gamma$ すなわち
 
\[(a,\ b) = (c,\ d) + (e,\ f)\]
を満たす複素数なので
 
\[a = c + e,\quad b = d + f\]
より
 
\[e = a-c,\quad f = b-d\]
 
と定まります。つまり複素数同士の減算は
 
\[\alpha-\beta= (a-c, b-d)\]
となります。また乗算が定義されているなら、$\delta = (g,\ h)$ とおいて、除算 $\delta = \alpha / \beta$ は $\alpha = \delta\beta$ すなわち
 
\[(a,\ b) = (g,\ h)(c,\ d) = (gc-hd,\ gd-hc)\]
を満たす数です。この式から $g,\ h$ を求めると複素数の除算
 
\[\frac{\alpha}{\beta}
=\left(
\frac{ac+bd}{c^2+d^2},\ \frac{bc-ad}{c^2+d^2}
\right)\]
が得られます。このような定義に従えば $a + bi$ には実数と虚数の足し算も含まれず、また実数と虚数の掛け算もありません。虚数単位はあくまで $(a,\ b)$ を $a+bi$ と表すための記号表記に過ぎないと考えるのです。そして $0$ は $(0,\ 0)$ という「2つの実数 $0$ の組」と考えることになります。

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください