0 は実数? それとも虚数?

 複素数 z = a + b i において a = b = 0 とすると「 0 」となりますが、この「 0 」という数字は 実数 なのか、それとも 虚数 なのか迷ったことはありませんか? 複素数平面で考えてみましょう。

 複素数平面z=a+ib

 「 0 」を表す原点 O は実軸と虚軸の交差する点ですね。
 つまり実軸上にもあり、虚軸上にもある点です。
 ということは、原点 O は実数でもあり、同時に虚数なのでしょうか?

 結論を言うと虚数の定義によって「 0 」は 実数 とされています。

 複素数 z = a + b i において、

  ① b = 0 ならば実数
  ② b ≠ 0 であるときに虚数
  ③ 特に a = 0 かつ b ≠ 0 であるときに純虚数

と定めています。「 0 」は a = b = 0 としていますから ① の実数の範疇に含まれることになります。しかし、上のような定義では他にも

 「 bi ? 実数と虚数単位の積とはどういうこと?」
 「 1 + i ? 実数と虚数の足し算ってどういう意味?」

と色々な疑問が生じてしまいます。このような曖昧さを回避するには、おそらくハミルトンによる定義が最も完全なものだと思えます。
 

ハミルトンの複素数

 William Rowan Hamilton は複素数を2つの実数の組

α = (a, b)

として定義しました。たとえば実数の 1 は

(1, 0)

と表し、虚数単位 i は

(0, 1)

と表されます。また複素数 1 + i は

(1, 1)

となります。この定義では i という虚数単位は一切現れず、ただ実数のみで表記されます。そして任意の2組の複素数

α = (a, b), β = (c, d)

に対して加算と乗算だけを定義しておきます。

α + β = (a + b, c + d), αβ = (ac - bd, ad + bc)

 この定義にしたがうと、たとえば i2

(0, 1)(0, 1) = (-1, 0)

となります。加算が定義されていれば、γ = (e, f) とおいて、
 減算 γ = α - βα = β + γ 、すなわち

(a, b) = (c, d) + (e, f)

を満たす複素数なので

a = c + e, b = d + f

より

e = a - c, f = b - d

と定まります。つまり複素数同士の減算は

α - β = (a - c, b - d)

となります。また乗算が定義されているなら、δ = (g, h) とおいて
 除算 δ = α/βα = δβ すなわち

(a, b) = (g, h)(c, d) = (gc - hd, gd + hc)

を満たす数です。この式から g, h を求めると複素数の除算

α/β = ((ac + bd)/(c2 + d2), (bc - ad)/(c2 + d2))

が得られます。このような定義に従えば a + bi には実数と虚数の足し算も含まれず、また実数と虚数の掛け算もありません。それはあくまで

(a, b) ⇒ a + bi

という記号表記に過ぎないと考えるのです。そして 0 は

(0, 0)

という「2つの実数 0 の組」と考えることになります。

スポンサーリンク
スポンサーリンク
末尾広告
末尾広告

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください