0は実数？ 虚数？

0は実数？ それとも虚数？

複素数 $z=a+bi$ において $a=b=0$ とすると $0$ となりますが、この $0$ は 実数なのか、それとも虚数なのか迷ったことはありませんか？
 
結論を言うと虚数の定義によって、0は実数 とされています。

複素数 $z=a+bi$ において、実数と虚数は以下のように定められています。
 
① $b=0$ ならば実数
② $b\neq 0$ であるときに虚数
③ 特に $a=0$ かつ $b\neq 0$ であるときに純虚数
 
$a=b=0$ のとき $z=0$ となるので、$0$ は条件 ① を満たす数となり、実数の範疇に含まれることになります。このように定義を丁寧に読めば、疑問は解決しますが、なんとなくもやもやした気分が残りますね。実はハミルトン表式で複素数を扱うと、0とは2組の実数であるという明快な定義を得ることができます。

ハミルトンの複素数

William Rowan Hamilton は複素数を２つの実数の組
 \[\alpha=(a,\:b)\]
として定義しました。たとえば実数 $1$ は
 \[(1,\:0)\]
と表し、虚数単位 $i$ は
 \[(0,\ 1)\]
と表されます。また複素数 $1 + i$ は
 \[(1,\ 1)\]
となります。この定義では $i$ という虚数単位は一切現れず、ただ実数のみで表記されます。そして任意の２組の複素数
 \[\alpha=(a,\ b),\quad \beta=(c,\ d)\]
に対して加算と乗算だけを定義しておきます。
 \[\alpha+\beta=(a+b,\ c+d),\quad\alpha\beta=(ac-bd,\ ad+bc)\]
この定義にしたがうと、たとえば $i^2$ は
 \[(0,\ 1)(0,\ 1) = (-1,\ 0)\]
となります。加算が定義されていれば、$\gamma=(e,\ f)$ とおいて、減算 $\gamma = \alpha – \beta$ は $\alpha=\beta+\gamma$ すなわち
 \[(a,\ b) = (c,\ d) + (e,\ f)\]
を満たす複素数なので
 \[a=c+e,\quad b = d + f\]
より
 \[e=a-c,\quad f=b-d\]
と定まります。つまり複素数同士の減算は
 \[\alpha-\beta= (a-c, b-d)\]
となります。また乗算が定義されているなら、$\delta = (g,\ h)$ とおいて、除算 $\delta=\alpha/\beta$ は $\alpha=\delta\beta$ すなわち
 \[(a,\ b)=(g,\ h)(c,\ d)=(gc-hd,\ gd-hc)\]
を満たす数です。この式から $g,\ h$ を求めると複素数の除算
 \[\frac{\alpha}{\beta}=\left(\frac{ac+bd}{c^2+d^2},\ \frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)\]
が得られます。このような定義に従えば $a+bi$ には実数と虚数の足し算も含まれず、また実数と虚数の掛け算もありません。虚数単位はあくまで $(a,\:b)$ を $a+bi$ と表すための記号表記に過ぎないと考えるのです。そして $0$ は $(0,\:0)$ という「２つの実数 $0$ の組」と考えることになります。