2 項展開します(展開式の各係数は左右対称になります)

[問題 AG-04] 2 項展開

 (x + y)6 を展開してください。
 

問題 AG-04 のヒント

 2 項定理を使って展開します。
 展開式の各係数が左右対称になることを意識しておくと計算しやすくなります。

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問題 AG-04 の解答

 2 項定理の公式は次のようになります。
\[(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{}_n\mathrm{C}_k\:x^{\:k}\:y^{\:n-k}\] 上式で n = 6 とおくと

\[(x+y)^n=\sum_{k=0}^6{}_6\mathrm{C}_k\:x^{\:k}\:y^{\:6-k}\]となるので

 (x + y)6 = x6 + 6C1 x5y + 6C2 x4y2+ 6C3 x3y3 + 6C4 x2y4 + 6C5 xy5 + y6

 ここで nCk = nCn-k という関係を使うと

6C1 = 6C5 = 6, 6C2 = 6C4 = 15

となるので、

 (x + y)6 = x6 + 6 x5 y + 15 x4 y2 + 20 x3 y3 + 15 x2 y4 + 6 x y5 + y6

が得られます。ちなみに下図のようなパスカルの三角形を使うと簡単に係数を決めることができます。 ≫ [問題05] 分母の有理化 ≫ 数学問題集

 パスカルの三角形図

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