2 項展開/分母の有理化

[問題 AG-04] 2 項展開

 $(x+y)^6$ を展開してください。
 

問題 AG-04 のヒント

 2 項定理を使って展開します。
 展開式の各係数が左右対称になることを意識しておくと計算しやすくなります。

 ≫ [Amazon 数学書籍] マンガ「代数学」超入門(足し算引き算から2次方程式まで)
 ≫ [Amazon 数学書籍] 大学院への代数学演習

問題 AG-04 の解答

 2 項定理の公式は次のようになります。
\[(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{}_n\mathrm{C}_k\:x^{\:k}\:y^{\:n-k}\] 上式で $n = 6$ とおくと
 
\[(x+y)^n=\sum_{k=0}^6{}_6\mathrm{C}_k\:x^{\:k}\:y^{\:6-k}\]
となるので

 (x + y)6 = x6 + 6C1 x5y + 6C2 x4y2+ 6C3 x3y3 + 6C4 x2y4 + 6C5 xy5 + y6

 ここで nCk = nCn-k という関係を使うと

6C1 = 6C5 = 6, 6C2 = 6C4 = 15

となるので、

 (x + y)6 = x6 + 6 x5 y + 15 x4 y2 + 20 x3 y3 + 15 x2 y4 + 6 x y5 + y6

が得られます。ちなみに下図のようなパスカルの三角形を使うと簡単に係数を決めることができます。 ≫ [問題05] 分母の有理化

 パスカルの三角形図
 
 

[問題 AG-05] 分母の有理化

 次の式を有理化してください。
\[\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}\]

問題 AG-05 のヒント

 分母にある式のうち、1つの項をマイナス符号にしてかけます。

≫ [Amazon 数学書籍] 新 A クラス中学代数問題集
[内容:正の数と負の数の加減乗除/文字式の計算/式の値/1次方程式の解法/1次不等式の解法/単項式と多項式の加減乗除/連立2元1次方程式の解法と応用/連立3元1次方程式の解き方]

問題 AG-05 の解答

\[\begin{align*}\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}&=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}\\
&=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})^2-3}\\
&=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\\
&=\frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\end{align*}\]
 ≫ [問題06] √3 の連分数展開 ≫ 数学演習問題

スポンサーリンク
末尾広告
末尾広告

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください