変数分離型微分方程式の積分因子

[問題 DE-11] 変数分離型微分方程式の積分因子

 変数分離型の微分方程式
\[\frac{dy}{dx}=F(x)G(y)\quad (Y\neq 0)\]を完全微分型方程式
\[\mu P(x,y)dx+\mu Q(x,y)dy=0\]の形にするための積分因子 $\mu$ を求めてください。ただし $\mu$ は
\[\frac{\partial (\mu P)}{\partial y}=\frac{\partial (\mu Q)}{\partial x}\]をみたす関数です。
 

問題 DE-11 のヒント(変形しましょう)

 まずは与えられた方程式を変形します。
 

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解答 DE-11

 微分方程式
 
\[\frac{dy}{dx}=F(x)G(y)\quad (Y\neq 0)\]
を変形すると
 
\[F(x)G(y)dx-dy=0\tag{A}\]
となります。すなわち
 
\[P=FG,\quad Q=-1\]
とみると、(A) が完全微分型であるためには
 
\[\frac{\partial (\mu FG)}{\partial y}=\frac{\partial (-\mu)}{\partial x}\]
とみたす必要があります。ここで仮に $\mu$ が $y$ だけの関数であると仮定すると、右辺は 0 ですから
 
\[F\left(\frac{d\mu}{dy}G+\mu\frac{dG}{dy}\right)=0\]
となります。すなわち
 
\[\frac{d\mu}{dy}G+\mu\frac{dG}{dy}=0\]
となるような $\mu$ を見つければよいことになります。変数分離すると
 
\[\frac{d\mu}{d\mu}=-\frac{dG}{dG}\]
 これを積分して、任意定数を $A$ とすると
 
\[\log\mu=\log\frac{A}{G}\]
となります。すなわち積分因子のひとつとして
 
\[\mu=\frac{1}{G}\]
が得られます。 ≫ 微分方程式演習 ≫ 数学演習

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