最初に1の目を出した人が勝ちです

【PS21】最初に 1 の目を出した人が勝ちです

山田君、中村君、佐藤君の順に交互にサイコロを投げて、最初に $1$ の目を出した人が勝ち というゲームをします。それぞれが勝つ確率を求めてください。必要であれば、$r\lt 1$ のときに成り立つ無限等比級数の公式
\[1+r+r^2+r^3+\ \cdots\ =\frac{1}{1-r}\]を使ってください。

【ヒント】数Ⅲの無限級数が絡む確率問題ですが、使う公式は明示してあるので、数Ⅲを未履修でも挑戦できます。

【考え方】このゲームは $1$ の目が出るまで終わりません。つまり、サイコロを $1000$ 回振っても $10000$ 回振っても終わらない可能性も（僅かに）あります。そのため、誰が勝つ確率も無限級数を使って表されることになります。
　
【解答】山田君、中村君、佐藤君の順にサイコロを投げるので、山田君が勝つ可能性があるのは、$1,\ 4,\ 7,\ \cdots$ 回目です。$1$ の目を ① で、それ以外の目を □ で表すことにします。$1,\ 4,\ 7,\ \cdots$ 回目に山田君が $1$ の目を出したというそれぞれのケースについて、それまでに $3$ 人が出した目を並べてみると次のようになります。

 $1$ 回目  ①
 $4$ 回目  □□□①
 $7$ 回目  □□□□□□①

① は $\cfrac{1}{6}$, □ は $\cfrac{5}{6}$ の確率で実現するので、$1,\ 4,\ 7,\ \cdots$ 回で山田君が勝つ確率は次のようになります。

 $1$ 回目$\qquad\cfrac{1}{6}$
 $4$ 回目$\qquad\left(\cfrac{5}{6}\right)^3\times\cfrac{1}{6}$
 $7$ 回目$\qquad\left(\cfrac{5}{6}\right)^6\times\cfrac{1}{6}$

それぞれの回で山田君が勝つという事象は互いに独立です（$1$ 回目と $7$ 回目に勝つということはありえません）。したがって、山田君が勝つ確率 $P(A)$ は、それぞれの回で勝つ確率を全部（無限に）足し合わせて
\[\begin{align*}P(A)&=\frac{1}{6}+\left(\frac{5}{6}\right)^3\frac{1}{6}+\left(\frac{5}{6}\right)^6\frac{1}{6}+\ \cdots\ \\[6pt]&=\frac{1}{6}\left\{1+\left(\frac{5}{6}\right)^3+\left(\frac{5}{6}\right)^6+\ \cdots\right\}\end{align*}\]
と表されます。ここで与えられた公式
\[1+r+r^2+r^3+\ \cdots\ =\frac{1}{1-r}\]
を使うと、
\[P(A)=\frac{1}{6}\frac{1}{1-\left(\cfrac{5}{6}\right)^3}=\frac{36}{91}\]
となります。同じようにして、中村君が勝つケースは次のように表されます。

 $2$ 回目  □①
 $5$ 回目  □□□□①
 $8$ 回目  □□□□□□□①

それぞれの回で中村君が勝つ確率は

 $2$ 回目$\qquad\cfrac{5}{6}\times\cfrac{1}{6}$
 $5$ 回目$\qquad \left(\cfrac{5}{6}\right)^4\times\cfrac{1}{6}$
 $8$ 回目$\qquad \left(\cfrac{5}{6}\right)^7\times\cfrac{1}{6}$

よって、中村君が勝つ確率 $P(B)$ は
\[\begin{align*}P(B)&=\frac{1}{6}\left\{\left(\frac{5}{6}\right)+\left(\frac{5}{6}\right)^4+\left(\frac{5}{6}\right)^7+\ \cdots\right\}\\[6pt]&=\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}\left\{1+\left(\frac{5}{6}\right)^3+\left(\frac{5}{6}\right)^6+\ \cdots\right\}\\[6pt]&=\frac{5}{36}\frac{1}{1-\left(\cfrac{5}{6}\right)^3}=\frac{30}{91}\end{align*}\]
となります。佐藤君が勝つ確率は全事象の確率 $1$ から「山田君が勝つ確率」と「中村君が勝つ確率」を引いて、
\[P(C)=1-P(A)-P(B)=\frac{25}{91}\]
となります。

【PS22】重複を許して無作為に生成される文字列

コンピュータを使って $a,\ b,\ c,\ d,\ e$ から重複を許して無作為に $3$ つの文字を選び出し、左から順に並べて $3$ 文字で構成される文字列を作ります。同じ文字が含まれる文字列が生成される確率 を求めてください。ただし、それぞれの文字はどれも等しい確率で選び出されるものとします。

【ヒント】同じ文字を含む文字列は $aaa$ とか $bcb$ とか、$baa$ など色々なパターンがあります。頑張って数えあげることもできなくはないですが、もっと簡単な方法があります。今回は数行で解ける簡単な問題です。あまり難しく考え過ぎないでください。
　
【解答】「同じ文字を含む」という事象を $\mathrm{A}$ とすると、その余事象 $\bar{A}$ は「同じ文字を１つも含まない」となります。この余事象の個数は、$5$ 個のものから $3$ 個とって並べる順列の数
\[{}_{5}\mathrm{P}_{3}=5\ \cdot\ 4\ \cdot\ 3\]
です。文字の選び方の総数は $5^3$ なので、余事象 $\bar{A}$ が起こる確率は
\[P(\bar{A})=\frac{5\ \cdot\ 4\ \cdot\ 3}{5^3}=\frac{12}{25}\]
となります。よって、求める確率は
\[P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{12}{25}=\frac{13}{25}\]
となります。