硬貨を投げて少なくとも 2 枚が表となる確率

 

PS-23 少なくとも 2 枚が表となる確率

 複数の硬貨を投げます。少なくとも $2$ 枚が表となる確率を $99%$ 以上にするためには何枚以上のコインを投げる必要がありますか?
 

PS-23 のヒント

 投げる硬貨の数を $n$ とおいて条件を満たす確率を計算して、その確率が 0.99 を超えるような $n$ を探します。
 

PS-23 の考え方

 $5$ 枚の硬貨で考えてみます。事象「少なくとも $2$ 枚が表となる」の余事象は「すべてが裏、または $1$ 枚だけが表」です。コインの表を H, 裏を T という記号で表して、余事象を列挙すると次のようになります。

T T T T T
H T T T T
T H T T T
T T H T T
T T T H T
T T T T H

 すべてが裏となる確率は $\cfrac{1}{2^5}$ であり、$1$ 枚だけが表となる確率は $\cfrac{5}{2^5}$ なので、余事象の起こる確率はこれを足し合わせて
 
\[\frac{1}{2^5}+\frac{5}{2^5}=\frac{6}{2^5}\]
となり、「少なくとも $2$ 枚が表となる」確率は
 
\[1-\frac{6}{2^5}\]
と表せます。
 

PS-23 の解答

 投げる硬貨の数を $n$ とおきます。「少なくとも $2$ 枚が表となる」事象を $\mathrm{A}$ とすると、その余事象 $\bar{A}$ は「すべてが裏または $1$ 枚だけが表」となります。すべてが裏となる確率は
 
\[\frac{1}{2^n}\]
であり、$1$ 枚だけが表となる確率は
 
\[\frac{n}{2^n}\]
なので、余事象 $\bar{A}$ の起こる確率は
 
\[P(\bar{A})=\frac{1}{2^n}+\frac{n}{2^n}=\frac{n+1}{2^n}\]
となります。したがって、事象 $A$ の起こる確率は
 
\[P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{n+1}{2^n}\]
です。この確率が 99% 以上となるのは
 
\[1-\frac{n+1}{2^n}\geq 0.99\]
という不等式をみたすときです。式を変形すると
 
\[\frac{2^n}{n+1}\geq 100\]
となります。指数関数は1次関数より速く増加します。$f(x)=2^x$ は $x=1$ のときに $g(x)=x+1$ と交点をもち、$x\gt 1$ では常に $2^x\gt x+1$ を満たします。すなわち、$2^x/(x+1)$ は $x\gt 1$ で単調増加関数です。参考のために、Excel で描いたグラフを掲載しておきます。

 Excel確率統計演習22のグラフ

 つまり不等式の左辺に適当な $n$ を代入して、左辺が右辺より小さい場合は、それより大きな $n$ を代入する、ということを繰り返せば条件を満たす $n$ を見つけることができます。実際には $n=10$ のときに左辺は $100$ に近い値をとることが予測できるので、とりあえず代入してみると
 
\[\frac{2^{10}}{10+1}=\frac{1024}{12}=93.1\]
となります。$n=11$ を代入すると
 
\[\frac{2^{11}}{11+1}=\frac{2048}{12}=170.7\]
となって $100$ を超えます。よって、少なくとも $2$ 枚が表となる確率を $99%$ 以上にするには、$11$ 枚以上のコインを投げる必要があることがわかります。
 
 

PS-24 進む道をランダムに選びます

 東西に延びる道路が南北の道で結ばれている街路があります。

 確率演習問題 街路と分かれ道

 ある人が $P$ 点から東に向かって出発し、以下の規則 [A], [B] にしたがってこの街路を進み、地点 $A,\ B,\ C,\ D$ のいずれかに到達するものとします。

[A] 西から分かれ道に至った場合にはサイコロを振って $1$ か $2$ の目が出たときには東へ進み、それ以外の目が出たときには南北の道へ進みます。

[B] 北または南から分かれ道に至ったときには東へ進みます。

(1) $A$ に到達する確率を求めてください。

(2) $D$ に到達する確率を求めてください。

(3) $B$ または $C$ に到達する確率を求めてください。

(センター試験 一部改)

 

PS-24 のヒント(経路を調べましょう)

 まず最初に $A$ や $D$ に到達する経路を調べます。
 

PS-24 の解答

(1) $D$ に到達するのは下の図の赤い経路です。

 Excel Figure Aに到達する経路

 $Q$ で $\cfrac{2}{3}$ の確率で北の道に向かうので、求める確率は $P(A)=\cfrac{2}{3}$ となります。

(2) $D$ に達するのは下の図の赤い経路です。

 Excel Figure Dに到達する経路

 $Q$ で東へ、$R$ で南へ、$S$ で南へ進むので、求める確率は
 
\[P(D)=\frac{1}{3}\frac{2}{3}\frac{2}{3}=\frac{4}{27}\]
となります。

(3)「 $B$ または $C$ に到達する」事象は、「 $A$ または $D$ に到達する」事象の余事象なので、(1) と (2) の結果を用いると、求める確率は
 
\[P(B\cup C)=1-P(A)-P(B)=1-\frac{2}{3}-\frac{4}{27}=\frac{5}{27}\]
となります。
 
 

PS-25 1 枚目よりも 2 枚目の数字が大きい確率

 $n$ をある自然数とします。片面に $1$ ~ $n$ の数字が書かれたカードを数字が見えないように伏せて並べます。その中から $1$ 枚を選んで数字を表にして、そのカードをそのままの状態にして、残り $n-1$ 枚のカードから $1$ 枚を選んで数字を表にします。このとき、$2$ 回目に引いたカードに書かれた数字が、最初に引いたカードの数字よりも大きい確率を求めてください。
 

PS-25 のヒント(答えは予想できます)

 対称性を考えると直感的に $1/2$ になることはわかりますが、それを計算で確かめてみようという問題です。
 

PS-25 の考え方

 最初から $n$ 枚で考えるとイメージしにくいので、$9$ 枚のカードで考えてみます。このとき、たとえば最初に $4$ のカードが選ばれたとします(下図参照)。

 確率演習問題 1 枚目よりも 2 枚目の数字が大きい確率

 最初に $4$ のカードを引いて、$2$ 回目に残り $8$ 枚のカードから $4$ より大きな数字 $5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$ のいずれかを選ぶ確率は
 
\[\frac{1}{9}\frac{9-4}{8}\]
のように計算できます。同様に考えて、最初に $k$ という数字の書かれたカードを選び、$2$ 回目に残り $9-k$ 枚のカードから $k$ より大きな数字のカードを選ぶ確率は
 
\[\frac{1}{9}\frac{9-k}{8}=\frac{9-k}{72}\]
となります。これを $k=1$ から $k=9$ まで足し合わせれば、$2$ 回目に引いたカードに書かれた数字が、最初に引いたカードの数字よりも大きい確率となります:
 
\[\begin{align*}\sum_{k=1}^{9}\frac{9-k}{72}&=\frac{1}{72}\sum_{k=1}^{9}(9-k)\\[6pt]
&=\frac{1}{72}\left\{9\cdot 9-\frac{9(9+1)}{2}\right\}=\frac{1}{2}\end{align*}\]
 

PS-25 の解答

 最初に $k$ という数字の書かれたカードを選び、$2$ 回目に残り $n-k$ 枚のカードから $k$ より大きな数字のカードを選ぶ確率は
 
\[\frac{1}{n}\frac{n-k}{n-1}=\frac{n-k}{n(n-1)}\]
で計算できます。この式を $k=1$ から $k=n$ まで足し合わせると、求める確率が得られます。
 
\[\begin{align*}\sum_{k=1}^{n}\frac{9-k}{n(n-1)}&=\frac{1}{n(n-1)}\sum_{k=1}^{n}(n-k)\\[6pt]
&=\frac{1}{n(n-1)}\left\{n^2-\frac{n(n+1)}{2}\right\}\\[6pt]
&=\frac{1}{n(n-1)}\frac{n^2-n}{2}=\frac{1}{2}\end{align*}\]

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