ピタゴラス方程式と既約なピタゴラス数

【NT13】ピタゴラス方程式の既約な解

$(a,\ b,\ c)=1$ およびピタゴラス方程式 $a^2+b^2=c^2$ を満たす自然数 $(a,\:b,\:c)$ の組を既約なピタゴラス数とよびます。以下の問いに答えてください。
(1) $a,\ b$ の片方は奇数で片方は偶数であることを示してください。
(2) $a,\ b$ のうち少なくとも一方は 3 の倍数であることを示してください。
(3) 既約なピタゴラス数を 2 つ見つけてください。

【ヒント】$(a,\ b)$ は $a$ と $b$ の最大公約数を表す記号です。$(a,\ b) = 1$ と書けば $a$ と $b$ が互いに素である、つまり $a$ と $b$ の最大公約数が 1 であるという意味です。ある $(a,\ b,\ c)$ がピタゴラス方程式を満たすとき、それぞれを倍にした $(2a,\ 2b,\ 2c)$ も方程式を満たしますが、そうした組は別の解とは認めないというのが $(a,\ b,\ c)=1$ という条件です。(3) は (1) と (2) をヒントにしながらも、ある程度は試行錯誤で根気よく探し出す必要があります。

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【解答】(1) 自然数の $2$ 乗を $4$ で割ったときの余りはどうなるか考えてみます。偶数 $(=2m)$ であれば
 \[(2m)^2=4m^2\]
となって、$4$ で割り切れます。奇数 $(=2m+1)$ なら
 \[(2m+1)^2=4(m^2+m)+1\]
なので、$4$ で割ると $1$ 余ります。つまり平方数は $4$ で割ったときの余りは $0$ か $1$ のいずれかです。これを踏まえて命題を背理法で証明します。

「$a,\ b$ の片方は奇数で片方は偶数である」の否定命題は「$a,\ b$ は両方とも奇数であるか、両方とも偶数である」となります。仮に $a,\ b$ が奇数であるなら先ほど調べたように
 \[z^2=2p+1,\quad b^2=2q+1\]
の形で表せます。これをピタゴラス方程式に代入して整理すると
 \[2(p+q)+2=c^2\]
となります。$c^2$ も $4$ で割ると余りは $0$ か $1$ なるはずですが、上式の左辺は $4$ で割ると $2$ が余ってしまいますから明らかに矛盾しています。したがって、$a,\:b$ がともに奇数となることはありません。

次に、$a,\:b$ が両方とも偶数である場合は $c$ も偶数となり、これは既約な解ではありません。したがって $a,\ b$ がともに偶数となることもありません。以上より、$a,\ b$ の片方は奇数で片方は偶数であることが示されました。（証明終）

(2) $3$ の倍数でない数は $3m+1,\ 3m+2$ と表せるので、平方するとそれぞれ
 \[\begin{align*}(3m+1)^2=3(3m^2+2m)+1\\[6pt](3m+2)^2=3(3m^2+4m+1)+1\end{align*}\]
となります。つまり $3$ の倍数でない数は $3$ で割ると $1$ 余ります。また、$3$ の倍数 $3n$ を $2$ 乗すると
 \[(3n)^2=9n^2\]
なので、$3$ で割り切れます。つまり全ての自然数は $2$ 乗すると余りは必ず $0$ か $1$ のどちらかになります。さて、「$a,\ b$ のうち少なくとも一方は $3$ の倍数である」の否定命題は「$a,\ b$ はいずれも $3$ の倍数ではない」となります。そこで $a,\ b$ は $3$ の倍数でないと仮定して
 \[a^2=3p+1,\quad b^2=3q+1\]
とおいてピタゴラス方程式に代入すると
 \[3(p+q)+2=c^2\]
となります。$c^2$ がどのような数であっても $3$ で割ったときの余りが $0$ か $1$ になるはずですが、左辺は $3$ で割ると $2$ が余るので矛盾しています。したがって、$a,\:b$ のうち少なくとも一方は $3$ の倍数であることが証明されました。（証明終）

(3) とりあえず (1) と (2) をヒントにして、
 \[(a,\:b)=(2,\:3)\]
あたりを試してみると、$c^2=13$ となってこれは不適です。
 \[(a,\:b)=(3,\:4)\]
としてみると $c^2=25$ となるので、$c$ は自然数です。次は
 \[(a,\:b)=(3,\:6)\]
で試すと、残念ながら不適。
 \[(a,\:b)=(5,\:12)\]
は $c^2=169$ なので $c$ は自然数です。以上より、
 \[(a,\:b,\:c)=(3,\:4,\:5),\ (5,\:12,\:13)\]
がピタゴラス方程式を満たすことがわかりました。

【補足】ピタゴラス方程式の一般解は $(u,\ v)=1,\ u\gt v$ なる整数 $u,\ v$ を用いて
 \[a=u^2-v^2,\quad b=2uv,\quad c=u^2+v^2\]
で与えられることが知られています。$u=2,\ v=1$ とおいて先ほどの解と一致することを確認してみてください。