三角形の頂点Pの極限の位置を求めます

【CL06】三角形の頂点 P の極限の位置

　図のような三角形 $ABP$ があり、$\mathrm{\angle }A=n\theta ,\mathrm{\angle }B=\theta$ とします。底辺 $AB$ を固定しておいて $\theta \to 0$ としたとき、頂点 $\mathit{P}$ の極限の位置 を求めてください。
 
 
 
 
【ヒント】図をじっと見つめてみると、$n$ を大きくしたら $P$ は左へ寄るし、$n$ を小さくしたら右へ移動しますね。だから最終的に $P$ がどこにくるのか、なんとなく予想できます。
　
【解答】$AB=a$ とおきます。$\mathrm{\angle }P=\pi -n\theta$ なので、正弦定理より
 $$\frac{AP}{\sin \theta }=\frac{a}{\sin (\pi -n\theta )}=\frac{a}{\sin n\theta }$$
が成り立つので、
 $$AP=\frac{\sin \theta }{\sin n\theta }$$
と表せます。$\theta \to 0$ の極限をとると
 $$\underset{\theta \to 0}{lim}=\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{n\theta }{\sin n\theta }\frac{\sin \theta }{\theta }\frac{a}{n}=\frac{a}{n}$$
となります。すなわち点 $P$ は $AB$ を $1:n$ に内分する点です。