ルジャンドル予想

数学未解決問題コーナーです。今回はルジャンドル予想（Legendre’s conjecture）を紹介しますが、そのまえにまず素数砂漠について簡単に触れておきます。

素数砂漠

自然数を並べて、その中にどのくらいの素数があるのかという問題は、最先端の数学でも解き明かせていません。あるところに素数がぱらぱらと現れているかと思うと、素数がずーっと存在しない区間があったりもします。たとえば 114 から 126 の数は 13 連続で合成数です。

このような素数の存在しない「素数砂漠」の長さに限りがないことは簡単に証明できます。たとえば n≧2 の連続する n−1 個の自然数
 
 n!+2, n!+3, …, n!+n
 
を考えてみます。 n! = n・(n-1) ・・・ 3・2・1 ですから、それそれ 2, 3, …, n で必ず割り切れます。つまり合成数です。この n は任意ですから、いくらでも大きい数を当てはめることができます。つまり、いくらでも大きな「素数砂漠」があるということです。

ルジャンドル予想

そうは言っても「この中には必ず１つは素数がある」という区間の長さを知りたいと願うのは人情（？）というものですよね。フランスの数学者アドリアン＝マリ・ルジャンドルは
 
「n² と (n+1)² の間には必ず素数が存在する！」
 
と予想しました。これがルジャンドル予想（Legendre’s conjecture）です。もうちょっと簡単に言い換えると、
 
 2 つの平方数の間には必ず素数が存在する！
 
ということですね。小さい数で試してみましょう。
 
 区間 [1, 4]：2, 3
 区間 [4, 9]：5, 7
 区間 [9, 16]：11, 13
 区間 [16, 25]：17, 19, 23
 
うーむ、なるほど。1 つどころか 2 つも 3 つもありますよ。確かに、この予想は正しそうですね（← まだちょっとしか調べてないのに適当なことを言っている）。114 から 126 は素数砂漠だと言いましたけど、矛盾していないか調べてみましょう。区間 [100, 121] には
 
 101, 103, 107, 109, 113
 
と 4 つも素数が存在しています。また [121, 169] にも
 
 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163
 
と 8 個も素数が並んでいて、ルジャンドル予想に一致していますが、[114, 126] は [100, 121] と [121, 169] にまたがる区間です。ここには素数が存在していませんが、予想と矛盾しているわけではありません。いずれにしても、この予想についての反例は 1 つも見つかっていないので、「おそらく正しいのだろう」と思われているのです。