広義積分とコーシーの主値積分

この記事では、区間内に不連続点がある場合の積分、あるいは無限区間における積分について解説します。

広義積分

不連続な関数の積分

関数 $f(x)$ が $a\lt x\leq b$ で連続であって、
 \[\lim_{\varepsilon\rightarrow +0}\int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)dx\]
が存在するとき、$f(x)$ は $a\leq x\leq b$ で積分可能であるといい、
 \[\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon\rightarrow +0}\int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)dx\]
と表します。同様に関数 $f(x)$ が $a\leq x\lt b$ で連続で
 \[\lim_{\varepsilon\rightarrow +0}\int_{a}^{b-\varepsilon}f(x)dx\]
が存在するとき、$f(x)$ は $a\leq x\leq b$ で積分可能であるといい、
 \[\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon\rightarrow +0}\int_{a}^{b-\varepsilon}f(x)dx\]
と表します。また $f(x)$ が区間 $[a,\:b]$ 内の 1 点 $c$ を除いて連続である場合は、
 \[\lim_{\varepsilon_1\rightarrow +0}\int_{a}^{c-\varepsilon_1}f(x)dx,\quad \lim_{\varepsilon_2\rightarrow +0}\int_{c+\varepsilon_2}^{b}f(x)dx\]
という極限値が存在する場合に限って、
 \[\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon_1\rightarrow +0}\int_{a}^{c-\varepsilon_1}f(x)dx+\lim_{\varepsilon_2\rightarrow +0}\int_{c+\varepsilon_2}^{b}f(x)dx\]
と定義します。

1/xの積分と1/√xの積分

関数 $y=1/x$ と $y=1/\sqrt{x}$ はともに $x=0$ で不連続となっています。$y=1/x$ については
 \[\lim_{\varepsilon\rightarrow +0}\int_{\varepsilon}^{1}\frac{dx}{x}=\lim_{\varepsilon\rightarrow +0}[\:\log x\:]_{\varepsilon}^{1}=\infty\]
となって積分を定義することはできません。しかし $y=1/\sqrt{x}$ については
 \[\lim_{\varepsilon\rightarrow +0}\int_{\varepsilon}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{\varepsilon\rightarrow +0}[\:2 \sqrt{x}\:]_{\varepsilon}^{1}=2\]
と有限値をもつので、
 \[\int_{\varepsilon}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}}=2\]
とすることができます。$y=1/x$ と $y=1/\sqrt{x}$ のグラフを描いてこの違いを直感的に把握してみます。
 

 
ともに $x\rightarrow 0$ で ∞ となる関数ですが、曲線と $x$ 軸および $x=1$ で囲まれる面積を求めると $y=1/x$ の場合は値が無限大になり、$y=1/\sqrt{x}$ のときはは有限値となります。その理由は $y=1/\sqrt{x}$ は $x\rightarrow 0$ となるときに、$y$ 軸との間隔を十分に細くしていくからです。つまり縦幅が非常に大きくなっても、横幅がそれを相殺するように狭くなっているので、実のところ原点付近の面積はほんの僅かしかないということです。

無限区間積分

関数 $f(x)$ が $x\geq a$ で連続であり
 \[\lim_{b\rightarrow +\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\]
が存在するとき、
 \[\int_{a}^{\infty}f(x)dx=\lim_{b\rightarrow +\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\]
と定義します。また関数 $f(x)$ が $x\leq b$ で連続であって
 \[\lim_{a\rightarrow -\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\]
が存在するとき、
 \[\int_{-\infty}^{b}f(x)dx=\lim_{a\rightarrow -\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\]
と定義します。さらに関数 $f(x)$ が全区間で連続であって
 \[\lim_{a\rightarrow -\infty}\lim_{b\rightarrow \infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\]
が存在するとき、
 \[\int_{-\infty}^{-\infty}f(x)dx=\lim_{a\rightarrow -\infty}\lim_{b\rightarrow \infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\]
と定義します。

e^xを[-∞,0]で積分

次のような積分
 \[\int_{-\infty}^{0}e^xdx\]
を計算してみます。
 \[\lim_{a\rightarrow -\infty}\int_{a}^{0}e^xdx=\lim_{a\rightarrow -\infty}[\:e^x\:]_{a}^{0}=1\]
という極限値が存在しているので、
 \[\int_{-\infty}^{0}e^xdx=1\]
となります。

コーシーの主値積分

再び関数 $y=1/x$ について、今度は区間 $[-1,\:1]$ で考えてみます。
 

 
先ほどの広義積分の定義によると、
 \[\lim_{\varepsilon_1\rightarrow +0}\int_{-1}^{1-\varepsilon_1}\frac{1}{x}dx,\quad \lim_{\varepsilon_2\rightarrow +0}\int_{1+\varepsilon_2}^{1}\frac{1}{x}dx\]
はいずれも有限値をもたないので、
 \[\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx\]
を計算することはできません。しかし上のグラフを見ると直感的に「この積分は正の面積と負の面積がキャンセルしあって 0 になるはずでは？」と考える人も多いでしょう。そこで $\varepsilon_1=\varepsilon_2=\varepsilon$ として
 \[\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon\rightarrow +0}\left\{\int_{a}^{c-\varepsilon}f(x)dx+\int_{c+\varepsilon}^{b}f(x)dx\right\}\]
という極限で積分を定義します。この極限値のことを コーシーの主値積分 (Cauchy’s principal value of integral) とよびます。すると
 \[\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx\]
もコーシーの主値積分は存在します。実際に計算してみると
 \[\begin{align*}\lim_{\varepsilon\rightarrow +0}&\left\{\int_{-1}^{-\varepsilon}\frac{1}{x}dx+\int_{\varepsilon}^{1}\frac{1}{x}dx\right\}\\[6pt]
&=\lim_{\varepsilon\rightarrow +0}\{-(\log 1-\log\varepsilon)+(\log 1-\log\varepsilon)\}=0\end{align*}\]
となります。