モーメント定理
関数
これは確率や物理学における剛体運動などの分野で多用される積分です。たとえば
関数 のフーリエ変換を
とすると、モーメント定理
が成り立つ。
この定理は後述するようにガウス関数のフーリエ変換を求める場合などに用いられます。
【モーメント定理の証明】
となるので、これを
一方で
となるので係数を比較して
が成り立ちます。
ガウス関数のフーリエ変換
モーメント定理を用いてガウス関数
のフーリエ変換を求めてみます。ガウス関数の積分公式
を
となります。関数
によって定義されているので、(E) は
と表すことができます。ガウス関数は偶関数なので
となり、
と書くことができます。すなわち
となります。ここで
となって、これは (F) の和の部分と一致します。よってガウス関数のフーリエ変換は
となります。
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