角度比の極限値

【CL07】角度比の極限値

図のように１直線上に３点 $O,A,B$ をとり、$OA=1,AB=2$ となるようにします。また $O$ を通って $OA$ に垂直な直線上の動点を $P$ とします。
 

　$OP=h,\mathrm{\angle }OPA=\alpha ,\mathrm{\angle }APB=\beta$ とするとき、${\displaystyle \underset{h\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\alpha }{\beta }}$ を求めてください。（千葉大）

【ヒント】角度比の極限値を求める問題です。底辺 OB を円弧とみれば答えを予測できます。
　
【解答】$h$ を無限に大きくすると、$OA$ と $AB$ は 無限大半径をもつ円の円弧 とみなすことができます。つまり $OA$ と $AB$ は円周角 $\alpha$ と $\beta$ の比である 1：2 となっていることが予測されます。それでは実際に解答を作って確認してみましょう。すぐに三角関数の極限公式を使うことを思いつくはずです。$\sin x$ に関する公式を用いても解答できますが、斜辺を平方根で表すのが大変なので、ここは $\tan x$ の極限公式
 $$\begin{array}{}\text{(1)}& \underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x}{x}=1\end{array}$$
を使うことにします。問題図から
 $$\begin{array}{}\text{(2)}& \tan \alpha =\frac{1}{h},\tan (\alpha +\beta )=\frac{3}{h}\end{array}$$
という関係式が得られるので、 $h\to \mathrm{\infty }$ のとき、
 $$\underset{h\to \mathrm{\infty }}{lim}\tan \alpha =0,\underset{h\to \mathrm{\infty }}{lim}\tan \beta =0$$
となります。すなわち $h\to \mathrm{\infty }$ のとき
 $$\alpha \to 0,\beta =\to 0$$
となって公式 (1) が使えることがわかります。すなわち
 $$\underset{h\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\tan \alpha }{\alpha }=\underset{\alpha \to 0}{lim}\frac{\tan \alpha }{\alpha }=1$$
です。ここで $\alpha$ と $\beta$ の比をとって
 $$\frac{\alpha }{\beta }=\frac{\alpha }{\tan \alpha }\frac{\tan \alpha }{\tan \beta }\frac{\tan \beta }{\beta }$$
と半ば強引に変形して極限公式が使えるようにします。つまり $\tan \alpha$ と $\tan \beta$ の比が求まれば答えが得られることがわかります。しかし、まだ $\tan \beta$ の値が分からないので加法定理から
 $$\tan \beta =\tan \{(\alpha +\beta )-\alpha \}=\frac{\tan (\alpha +\beta )-\tan \alpha }{1+\tan (\alpha +\beta )\tan \alpha }$$
という式をつくってから (2) を代入すると
 $$\tan \beta =\frac{2h}{h^2+3}$$
が得られます。よって求める極限は
 $$\underset{h\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\alpha }{\beta }=\underset{h\to \mathrm{\infty }}{lim}\left(\frac{\alpha }{\tan \alpha }\frac{\tan \alpha }{\tan \beta }\frac{\tan \beta }{\beta }\right)=1\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}$$
となります。