放物線上の接線と法線

【CL17】放物線上の接線と法線

 放物線 \(y=x^2\) 上の1点 R に接線と法線を引きます。

 放物線の接線と法線の図

 図のように接線(赤い線)が $x$ 軸と交わる点を $P$ とし、法線(青い線)が $x$ 軸と交わる点を $Q$, $y$ 軸と交わる点を $T$ とします。このとき △$PQR$ の面積 \(S_1\) が △$OQT$ の面積 \(S_2\) のちょうど半分となるように点 $R$ の座標を定めてください。

【ヒント】接線と法線の方程式を立てます。

【解答】放物線上の点 $R$ を \((a,\:a^2\)) とします。
 \(y=x^2\) を微分すると \(y’=2x\) なので、点 $R$ における接線の方程式は
 
\[y-a^2=2a(x-a)\]
と書くことができます。\(y=0\) とおいて $x$ 軸との交点 $P$ の $x$ 座標を求めると
 
\[x=\frac{a}{2}\]
となります。法線の方程式は
 
\[y-a^2=-\frac{1}{2a}(x-a)\]
となります。$y = 0$ とおくと、 $x$ 軸との交点 $Q$ の $x$ 座標は
 
\[x=2a^3+a\]
であり、また $x = 0$ とおいて $y$ 軸との交点 $T$ の $y$ 座標を
 
\[y=a^2+\frac{1}{2}\]
と求めることができます。

 放物線の接線と法線の解答図

 以上より △$PQR$ の面積 \(S_1\) は
 
\[S_1=\frac{1}{2}a^2 \left( 2a^3+a-\frac{a}{2} \right) =\frac{1}{4}a^3(4a^2+1)\]
となります。また、△$OQT$ の面積 \(S_2\) は
 
\[S_2=\frac{1}{2}(2a^3+a) \left( a^2+\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{4}a(2a^2+1)^2\]
となります。 \(S_1=S_2/2\) とおくと
 
\[4a^4-2a^2-1=0\]
という方程式が得られるので、\(a^2 \gt 0\) となる解を求めると
 
\[a^2=\frac{1+\sqrt{5}}{4}\]
が得られます。よって点 $R$ の座標は
 
\[(x,\:y)= \left( \sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{4}},\:\frac{1+\sqrt{5}}{4} \right),\: \left( -\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{4}},\:\frac{1+\sqrt{5}}{4} \right)\]
となります。

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