アステロイド曲線

アステロイド曲線

アステロイド曲線（asteroid）はギリシア語の「星のような形」に由来する図形で、星芒形あるいは星形ともよばれます。また４つの尖点を持つことから、四尖点形（tetracuspid）の名称でよばれることもあります。アステロイドは、図のように半径 $a$ の大円の内側を半径 $a/4$ の小円が滑ることなく転がるときに、小円の円周上の点が描く軌跡として定義されます。



アステロイドの代数曲線は
$$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$$
によって与えられ、$t$ を媒介変数として
$$x=a{\cos }^{3}t,y=a{\sin }^{3}t(a>0)$$
と表すこともできます。媒介変数 $t$ が
$$t:0⟶\frac{\pi }{2}⟶\pi ⟶\frac{3}{2}\pi ⟶2\pi$$
を動くとき $x,y$ は
$$\begin{array}{rl}& x:a⟶0⟶-a⟶0⟶a\\ & y:0⟶a⟶0⟶-a⟶0\end{array}$$
を動いてちょうど一周します。アステロイドはスーパー楕円とよばれる曲線
$${\left|\frac{x}{a}\right|}^k+{\left|\frac{y}{b}\right|}^k=1$$
において $k=2/3,a=b$ とおいた形とみることもできます。

アステロイド曲線の面積

アステロイドの媒介変数表示
$$x=a{\cos }^{3}t,y=a{\sin }^{3}t(a>0)$$
を用いて曲線に囲まれた内側の面積を計算することができます。第 1 象限の面積を 4 倍すればいいので、
$$S=4{\int }_0^{a}ydx=4{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{0}y\frac{dx}{dt}dt$$
$dx/dt$ を計算すると
$$\frac{dx}{dt}=3a{\cos }^{2}t(-\sin t)$$
となるので、
$$\begin{array}{rl}S=& 12a^2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{4}t{\cos }^{2}tdt\\ =& 12a^2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{4}t(1-{\sin }^{2}t)dt\\ =& 12a^2({\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{4}tdt-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{6}t)\end{array}$$
ここで ${\displaystyle a_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}tdt}$ とおくと、漸化式
$$a_0=\frac{\pi }{2},a_1=1,a_n=\frac{n-1}{n}{a}_{n-2}$$
によって定積分を計算できます。${\displaystyle a_6=\frac{5}{6}{a}_4}$ なので、
$$S=12a^2(a_4-\frac{5}{6}{a}_4)=2a^2\cdot a_4=2a^2\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{3}{8}\pi a^2$$
となります。

アステロイド曲線の長さ

$x,y$ が媒介変数 $t$ で表されたときの曲線の長さは
$$L={\int }_a^b\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt$$
で計算できます。この公式を使ってアステロイド
$$x=a{\cos }^{3}t,y=a{\sin }^{3}t(a>0)$$
の１周分の長さを計算してみます。
$${\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2=9a^2{\cos }^{2}t{\sin }^{2}t$$
となるので、
$$L=4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}3a\cos t\sin tdt=12a{[\frac{1}{2}{\sin }^{2}t]}_0^{\frac{\pi }{2}}=6a$$
となります。

Excel でアステロイド曲線を描く

　アステロイド曲線は内トロコイド（hypotrochoid） とよばれる曲線群に含まれます。内トロコイドは
$$\begin{array}{r}x=(r_c-r_m)\cos \theta +r_d\cos \left(\frac{r_c-r_m}{r_m}\theta \right)\\ y=(r_c-r_m)\sin \theta -r_d\sin \left(\frac{r_c-r_m}{r_m}\theta \right)\end{array}$$
で表され、$r_m=r_d,r_c=4r_d$ とおいたときに、アステロイド曲線の方程式が得られます。

当サイトからトロコイドを描画するExcelワークシートをダウンロードできます：

≫ ファイルをダウンロードする

ダウンロードしたらファイルを開いて [内トロコイド] のシートを選択してください。
デフォルトでアステロイド曲線が描かれています。



一般に、rm = rd, rc = 4rd に設定したときにアステロイド曲線となります。
たとえば、rc = 2, rm = rd = 0.5 としたときにもアステロイド曲線になります。
rc, rm, rd はスピンボタンで自由に変更できます：



興味のある人はスピンボタンを適当にいじって、アステロイド以外にも色々と試してみてください。たとえば、デフォルト設定から rc を 0.1 下げて 3.9 にするだけでも、アステロイドとは全く異なる曲線が描かれます：

天動説とアステロイド曲線

アステロイド曲線は大昔の天文学において「天動説」を説明するために発見された形です。地球を中心に惑星が回っていると仮定すると「惑星の逆行」という奇妙な動きを説明できません。そこで惑星が小さな円を描きながら地球の周りを動くという「周転円」という考え方で何とかこじつけます。周転円にもとづく天動説は数学的には矛盾がないので、「地動説」支持者にとっては手ごわい理論でした。数学の定理が間違った理論を支えていたこともあるのです。「周転円」の考え方がなければ、人類はもっと早くに「地動説」を受け入れていたかもしれません。