卵型、正方形もどきのグラフを描きます



≫『大学への数学』最新号
≫ 挑戦問題 PS-19 が入りました。

 アステロイドをベースに面白いグラフを発見したので紹介します。
 アステロイド(星芒形, Asteroid)とは

x = cos3θ, y = sin3θ   [1]

という媒介変数方程式でグラフは美しい星形となります:

 Excelアステロイド

 この数学実験室のほうの常連さんにはお馴染みのグラフですね。 [1] を少し変えて

x = cos3θ + sinθ, y = sin3θ + cosθ   [2]

という方程式に変更してみると ......

 Excelアステロイド星芒形1

 両端に結び目のある変てこなグラフが出現しました。
 この結び目を解くべく直感を働かせて

x = cos3θ + 1.5 sinθ, y = sin3θ + 1.5 cosθ   [3]

という式を作ってみると ......

 Excelアステロイド星芒形2

 まだ少し両端が尖っているのが気になったので sinθ にかかる係数を少しずつ増やしていきました。

 Excelアステロイド星芒形3

 両端の尖った所が丸みを帯びながら面積が拡大していく様子が見えますね。

 最後におまけを1つ。 sinθ の係数の符号を変えて

x = cos3θ - sinθ, y = sin3θ + cosθ   [2]

としてみると、

 Excelアステロイド星芒形4

 角がぐにゃりと曲がった正方形もどき(?)の図形が現れました。このように媒介変数表示関数は式を少しいじってみるだけで、予想もつかない形が現れることがあるのです。皆さんも Excel で色々なグラフを探してみてください。

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