数学公式集 確率の定義（事象と標本空間）
サイコロを繰り返し何度も振れば、1 から 6 の目が均等な割合で出ることは経験的に知られています。市販のサイコロは商品として出荷される前に検品されて、大半の不良品は弾かれているでしょうから、割合が均等であるという信頼があるわけです。ただし、...
あとりえこばと
数学公式集 数学公式集 集合の演算（交換・結合・分配）
集合の定義（有限集合と無限集合）たとえば「8 以下の自然数」を書き並べて \ のように範囲が定まった集まりをつくります。このような集まりのことを 集合 (set) とよびます。そして集合を構成している個々のものを 要素 (element) ...
数学公式集 組合せと重複組合せの公式
組合せまずは 順列 の復習です。4 種類のアルファベット {a, b, c, d} から 3 つを取り出して 1 列に並べる方法は何通りあるか計算してみましょう。 \ そして、この中に含まれる順列は , , , のいずれかの文字セットで構...
数学公式集 順列（円順列・同じものを含む順列・重複順列）
順列a, b, c, d, e という 5 つのアルファベットから 3 つの文字を選んで並べます。ただし文字を重複して選ぶことはしないものとします。その並べ方は何通りあるでしょう。 図のように空白のマス目を使うとイメージしやすいです。 まず...
数学公式集 陽関数と陰関数
陽関数一変数関数が $y=f(x)$ の形で表されるとき、$y$ を $x$ の 陽関数 (explicit function) であるといいます。たとえば \ などと書かれたとき、$y$ は $x$ の陽関数です。同様に二変数関数が $z...
数学よもやま話 閉区間に含まれる要素数
関数とは数と数を１対１の対応で結びつけるものです。中学校では最初に一次関数 y = ax というものを学びます。一見すると単純極まりない関係に思えますが、そこには身震いするような真実が隠されているのです。 閉区間に含まれる要素数一次関数 y...
数学よもやま話 ガリレオを怯ませた無限の深遠
ここに 12 個の要素をもつ集合 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}があります。この集合の中に含まれる自然数と平方数は、どちらのほうが多いでしょうか？ そんなことは訊かれるまでもなく自然数に決まっ...
数学公式集 全微分（二変数関数の微小変化）
二変数関数の微小変化$z=f(x,y)=x^2+y^2$ において、変数 $(x,\:y)$ を点 $(1,\:1)$ から $(1.1,\:1.1)$ まで変化させたときに、$z$ がどの程度変化するのか計算してみます。 \&=1+0.2...