立方数の和・三重和の計算

【SQ19】立方数の和（立方和）

(1) $(k+1)^4$ を計算してください。
(2) $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2$ を証明してください。
(3) $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(k+1)^3$ を求めてください。

【ヒント】今回からΣ記号が登場します。立方数の和（立方和）の公式の証明は教科書に載っていると思いますが、いざ自分で再現しなさいと言われると手が止まる人も多いのではないでしょうか。(1) はただの計算問題ですが、これが (2) のヒントになっています。そして (2) を使って (3) を解くことになります。
　
【解答】(1) $(k+1)^2$ を計算してから、それをもう一度 2 乗します。
\[\begin{align*}(k+1)^4=&\,(k^2+2k+1)^2\\[6pt]=&\,k^4+2k^2(2k+1)+(2k+1)^2\\[6pt]=&\,k^4+4k^3+6k^2+4k+1\end{align*}\]
(2) (1) の結果から、
\[(k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1\]
が成り立ちます。$k$ に $1$ から $n$ までの値を入れると

\[\begin{align*}&2^4-1^4=4\cdot 1^3+6\cdot 1^2+4\cdot 1+1\\[6pt]&3^4-2^4=4\cdot 2^3+6\cdot 2^2+4\cdot 2+1\\[6pt]&4^4-3^4=4\cdot 3^3+6\cdot 3^2+4\cdot 3+1\\[6pt]&\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\[6pt]&n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1\\[6pt]&(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^3+4n+1\end{align*}\]
辺々をすべて足し合わせると、左辺は隣り合う項同士が相殺しあって、2 項のみが残ります。
\[\begin{align*}(n+1)^4-1^4=&\,4(1^3+2^3+\:\cdots\:+n^3)\\[6pt]=&\,6(1^2+2^2+\:\cdots\:+n^2)\\[6pt]=&\,4(1+2+\:\cdots\:+n)\\[6pt]=&\,(1+1+\:\cdots\:+1)\\[6pt]=&\,4\sum_{k=1}^{n}k^3+6\sum_{k=1}^{n}k^2+4\sum_{k=1}^{n}k+n\end{align*}\]
$\displaystyle S=\sum_{k=1}^{n}k^3$ とおいて、公式
\[\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\quad\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\]
を用いると、
\[(n+1)^4=4S+n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+n\]
となります。これを整理して
\[S=\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2\]
が得られます。

(3) この問題は変数変換をするだけて終わります。$t=k+1$ とおくと、$k$ が $1$ から $n$ まで動くとき、$t$ は $2$ から $n+1$ まで動くことになります。すなわち
\[\sum_{k=1}^{n}(k+1)^3=\sum_{t=2}^{n+1}t^3\]
となります。右辺を初項から $n+1$ 項までの和に直して、余分な初項をあとから引いておきます。
\[\sum_{k=1}^{n}(k+1)^3=\sum_{t=1}^{n+1}t^3-1\]
右辺の第 1 項は (2) で得られた式
\[\sum_{k=1}^{n}k^3=\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2\]
で $n$ を $n+1$ に置き換えて計算できるので、
\[\begin{align*}\sum_{k=1}^{n}(k+1)^3&=\left\{\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right\}^2-1\\[6pt]&=\left\{\frac{(n+1)(n+2)}{2}+1\right\}\left\{\frac{(n+1)(n+2)}{2}-1\right\}\\[6pt]&=\left\{\frac{n(n+3)}{2}\right\}\left\{\frac{n^2+3n+4}{2}\right\}=\frac{n(n+3)(n^2+3n+4)}{4}\end{align*}\]
となります。

【SQ20】三重和の計算

$S=\displaystyle\sum_{m=1}^{n}\sum_{l=1}^{m}\sum_{k=1}^{l}k$ を求めてください。

【ヒント】三重和を求める問題です。内側から順に計算していくだけですが、$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(k+1)$ などの公式を知っていることが前提になります。知らない人は Σ記号と数列の和の公式 を参照してください。前問 SQ19 と合わせると、これで $\sum$ 演算のすべての公式を使ったことになります。
　
【解答】$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)$ を用いると
\[S=\frac{1}{2}\sum_{m=1}^{n}\sum_{l=1}^{m}l(l+1)\]
次に $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$ を使って
\[S=\frac{1}{6}\sum_{m=1}^{n}m(m+1)(m+2)\]
最後に $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)=\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)$ の公式により
\[S=\frac{1}{24}n(n+1)(n+2)(n+3)\]
となります。