クラメルの公式

クラメルの公式（Cramer’s rule of determinant solution）は連立一次方程式を解くためのとても有用な公式です。スイスの数学者 G.Cramer によって示されたことから、その名がついています。たとえば、ニ元一次連立方程式
$\begin{aligned} (1) & a x + b y & = e \\ (2) & c x + d y & = f \end{aligned}$
が与えられたとき、この方程式の一般解は
$x = \frac{| \begin{matrix} e & b \\ f & d \end{matrix} |}{| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |} = \frac{e d - b f}{a d - b c}, y = \frac{| \begin{matrix} a & e \\ c & f \end{matrix} |}{| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |} = \frac{a f - e c}{a d - b c}$
と表されます。二元一次方程式のクラメルの公式は (1) と (2) に適当な係数をかけて引き算すれば簡単に求められますが、その手法は三元以上の場合に応用がききません。ここでは逆行列と行列式を用いた証明を載せておきます。

【クラメルの公式の証明Ⅰ】逆行列を用いる証明法がもっとも一般的です。連立方程式 (1) で
$A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$
とおいて、(1) と (2) を行列形式で表します。
$(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) (\binom{x}{y}) = (\binom{e}{f})$
$a b - c d \neq 0$ のときにただ１つの解の組 $(x, y)$ が存在します。両辺に左から逆行列 $A^{- 1}$ をかけると、
$(\binom{x}{y}) = \frac{1}{a d - b c} (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}) (\binom{e}{f}) = \frac{1}{a d - b c} (\binom{e d - b f}{a f - e c})$
となるので、
$x = \frac{| \begin{matrix} e & b \\ f & d \end{matrix} |}{| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |} = \frac{e d - b f}{a d - b c}, y = \frac{| \begin{matrix} a & e \\ c & f \end{matrix} |}{| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |} = \frac{a f - e c}{a d - b c}$
が成り立ちます。■

【クラメルの公式の証明Ⅱ】ニ元一次連立方程式
$\begin{aligned} (1) & a x + b y & = e \\ (2) & c x + d y & = f \end{aligned}$
において、係数と定数項をベクトル形式で
$\vec{p} = (\binom{a}{c}), \vec{q} = (\binom{b}{d}), \vec{r} = (\binom{e}{f})$
のように表すと、
$x \vec{p} + y \vec{q} = \vec{r}$
と書くことができます。ここで $\vec{q}$ との行列式を計算すると
$\begin{aligned} \det (x \vec{p} + y \vec{q}, \vec{q}) = \det (\vec{r}, \vec{q}) \\ \det (x \vec{p}, \vec{q}) + \det (y \vec{q}, \vec{q}) = \det (\vec{r}, \vec{q}) \\ x \det (\vec{p}, \vec{q}) = \det (\vec{r}, \vec{q}) \end{aligned}$
よって、 $\det (\vec{p}, \vec{q}) \neq 0$ であれば、すなわち $a d - b c \neq 0$ であるならば、
$x = \frac{\det (\vec{r}, \vec{q})}{\det (\vec{p}, \vec{q})} = \frac{a f - e c}{a d - b c}$
となります。同様に $\vec{p}$ との行列式を計算すると
$y = \frac{\det (\vec{p}, \vec{r})}{\det (\vec{p}, \vec{q})} = \frac{e d - b f}{a d - b c}$
が成り立ちます。■

三元一次連立方程式
$\begin{array}{r} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2} \\ a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z = d_{3} \end{array}$
のクラメルの公式も、二元一次連立方程式の表式をそのまま拡張した形となります。係数と定数項をベクトルで
$\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}), \vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}), \vec{c} = (\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{matrix}), \vec{d} = (\begin{matrix} d_{1} \\ d_{2} \\ d_{3} \end{matrix})$
と表すと、
$\begin{array}{r} x = \det (\vec{d}, \vec{b}, \vec{c}) / \det (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) \\ y = \det (\vec{a}, \vec{d}, \vec{c}) / \det (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) \\ z = \det (\vec{a}, \vec{b}, \vec{d}) / \det (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) \end{array}$
となります。証明は省略しますが、先ほどの行列式を用いる方法がもっとも簡単です。

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