サイクロイド曲線の方程式・弧長・面積

サイクロイド曲線（擺線）

半径 $a$ の円が定直線上を滑らないで転がるとき、この回転円の定点 $P$ が描く曲線の軌跡を サイクロイド曲線（cycloid） あるいは擺線（はいせん） とよびます。サイクロイド曲線はトロコイド（余擺線）とよばれる曲線の一種です。



サイクロイド曲線は $t$ を媒介変数として
$$x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t)(a>0)$$
という方程式で表すことができます。媒介変数 $t$ に応じて $x,y$ は
$$\begin{array}{rl}t:0& ⟹\pi ⟹2\pi \\ x:0& ⟹\pi a⟹2\pi a\\ y:0& ⟹2a⟹0\end{array}$$
のように動いてちょうど１周します。

サイクロイドの面積

サイクロイド曲線の媒介変数表示
$$x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t)(a>0)$$
を用いてサイクロイド曲線と $x$ 軸に囲まれた部分の面積を計算できます。$x=\pi a$ で曲線は対称形をしているので、$y$ を $x=\pi a$ まで積分した値を 2 倍します。
$$\begin{array}{rl}S=& 2{\int }_0^{\pi a}ydx=2{\int }_0^{\pi }y\frac{dx}{dt}dt\\ =& 2{\int }_0^{\pi }a(1-\cos t)a(1-\cos t)dt\\ =& 2a^2{\int }_0^{\pi }(1-2\cos t+{\cos }^{2}t)dt\end{array}$$
第１項と第２項はそれぞれ
$${\int }_0^{\pi }dt=\pi ,{\int }_0^{\pi }\cos tdt=0$$
となります。第３項は ${\displaystyle a_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}tdt}$ の漸化式
$$a_0=\frac{\pi }{2},a_1=1,a_n=\frac{n-1}{n}{a}_{n-2}$$
によって計算することができます。
$${\int }_0^{\pi }{\cos }^{2}dt=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}dt=2\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$$
したがって、求める面積は
$$S=2a^2(\pi +\frac{\pi }{2})=3\pi a^2$$
となります。

サイクロイド曲線の長さ

$x,y$ が媒介変数 $t$ で表されたときの曲線の長さを求める公式は
$$L={\int }_a^b\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt$$
です。この公式を使ってサイクロイド曲線
$$x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t)(a>0)$$
の長さを計算します。
$$\frac{dx}{dt}dt=a,(1-\cos t)\frac{dy}{dt}=a\sin t$$
となるので、求める長さは
$$\begin{array}{rl}L=& {\int }_0^{2\pi }\sqrt{2(1-\cos t)}dt={\int }_0^{2\pi }\sqrt{4{\sin }^2\frac{t}{2}}dt\\ =& {\int }_0^{2\pi }\sin \frac{t}{2}dt=8a\end{array}$$
となります。

Excelでサイクロイド曲線を描く

サイクロイド曲線はトロコイド（trochoid）とよばれる曲線群
$$\begin{array}{rl}x& =r_m\theta -r_d\cos \theta \\ y& =r_m-r_d\cos \theta \end{array}$$
に含まれます。この方程式で $r_m=r_d$ とおくと、よく知られたサイクロイドの方程式
$$\begin{array}{rl}x& =r_m(\theta -\cos \theta )\\ y& =r_m(1-\cos \theta )\end{array}$$
になります。トロコイドを描画するファイルをダウンロードしてください。

≫ ファイルをダウンロード

ダウンロードを終えたら、ファイルを開いて [トロコイド] のシートを選択します。デフォルトでサイクロイド曲線が描かれているはずです。



rm = rd に設定したときにサイクロイドになります。rm, rd はスピンボタンを使って自由に変更でるので、色々試してみてください。たとえば rm = 4, rd = 1.5 に設定すると、次のようなトロコイド曲線が描かれます。