[VBA] 完全数・過剰数・不足数

[VBA] 完全数・過剰数・不足数

　この記事では、完全数・過剰数・不足数について説明し、VBA で完全数を探索する方法について解説します。

CDIVISOR関数

　ある自然数 $N$ が与えられたとき、その約数の個数を $T(N)$ という関数で表すことにします。たとえば 12 の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12 の計 6 個なので、
　
\[T(12)=6\]
となります。このような計算をさせるユーザー定義関数 CDIVISOR のプログラムは次のようになります（頭文字の C は Count の略、Divisor は約数です）。

'[VBA] 約数の総和を求める関数

'エラー値を代入するため戻り値はVariant
'（関数名のあとにデータ型を宣言していません）
Function CDIVISOR(n As Long, Optional t As Boolean = False)

　　Dim k As Long, m As Long

　　m = n

　　'オプション引数が True のときは
　　'カウント上限値を 1 つ減らして
　　'n 自身を約数としてカウントしない

　　If t = True Then
　　　　m = n - 1
　　End If

　　Select Case n

　　　　'指定引数 n が 0 または負数ならばエラー
　　　　Case Is <= 0
　　　　　　CDIVISOR = CVErr(xlErrNA)

　　　　Case Else
　　　　　　'1 から順に n を割り切れるかどうか判定して
　　　　　　'約数であるものだけカウントします
　　　　　　For k = 1 To m
　　　　　　　　If n Mod k = 0 Then
　　　　　　　　　　s = s + 1
　　　　　　　　End If
　　　　　　Next k
　　　　　　CDIVISOR = s

　　End Select

End Function

　CDIVISOR() をワークシートで使用するときはセルに

=CDIVISOR(N [,N自身を個数に含めるか否か])

という形式で入力します。N には自然数を指定してください。オプション引数に False または 0 を指定すると N 自身を約数に含めてカウントし、True または 1 を指定すると N 自身を個数から除きます。N = 12 で試してみましょう。

=CDIVISOR(12)

と入力すると、12 自身を含めた約数の個数「 6 」が返ります。

=CDIVISOR(12,1)

と入力すると、12 自身を除いた約数の個数「 5 」が返ります。

SDIVISOR関数

　ある自然数 $N$ が与えられたとき、その約数の総和を $S(N)$ という関数で表すことにします。たとえば 12 の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12 なので、
　
\[S(12)=1+2+3+4+6+12=28\]
となります。このような計算をさせるユーザー定義関数 SDIVISOR のコードを載せておきます（頭文字の S は Sum の略、Divisor は約数です）。

'[VBA] 約数の総和を求める関数

Function SDIVISOR(n As Long, Optional t As Boolean = False)

　　Dim k As Long, m As Long
　　m = n

　　'オプション引数が True のときは
　　'カウント上限を 1 つ減らして約数和から n 自身を除きます
　　If t = True Then
　　　　m = n - 1
　　End If

　　Select Case n

　　'指定引数 n が 0 または負数ならばエラー
　　Case Is <= 0
　　　　SDIVISOR = CVErr(xlErrNA)

　　Case Else
　　　　' 1 から順に n を割り切れるかどうか判定して
　　　　'約数であるものだけ s に加えていきます
　　　　For k = 1 To m
　　　　　　If n Mod k = 0 Then
　　　　　　　　s = s + k
　　　　　　End If
　　　　Next k
　　　　SDIVISOR = s

　End Select

End Function

　SDIVISOR() をワークシートで使用するときは

=SDIVISOR(N [,N自身を加えるか否か])

と入力します。N には自然数を指定してください。オプション引数に False または 0 を指定すると N 自身を含めて和を計算し、True または 1 を指定すると N 自身を除いた和を計算します（後述するように完全数を調べるときは True を指定します）。N = 12 で試してみましょう。

=SDIVISOR(12)

と入力すると、12 自身を含めた約数の総和「 28 」が返ります。

=SDIVISOR(12,1)

と入力すると、12 自身を除いた約数の個数「 16 」が返ります。

完全数／過剰数／不足数

　自然数 $a$ を $S(a)$ によって次の 3 種類に分類することがあり、古来ギリシア時代から熱心に研究されてきました。

① $S(a)=2a$ が成り立つとき、すなわち $a$ 以外の約数の和が $a$ に等しいとき、$a$ を 完全数 (perfect number) とよびます。たとえば 6 の約数は 1, 2, 3, 6 であり、6 自身を除いた約数の和は
　
\[1+2+3=6\]
となるので 6 は完全数です。完全数はとても珍しい数です。

② $S(a)\gt 2a$ のとき、すなわち $a$ 以外の約数の和が $a$ より大きいとき、$a$ を 過剰数 または豊数 (abundant number) といいます。

③ $S(a)\lt 2a$ のとき、すなわち $a$ 以外の約数の和が $a$ より小さいとき、$a$ を 不足数 または輸数 (deficient number) とよびます。

　SDIVISOR関数を使うと、その数字が完全数であるかどうかを判定することができます。たとえば

=SDIVISOR(28,1)

と入力すると「 28 」が返ってくるので 28 は完全数です。

=SDIVISOR(50,1)

と入力すると「 43 」が返ってくるので、50 は不足数であることがわかります。

完全数を探索するマクロ

　SDIVISOR() を呼びだして完全数を見つけるマクロを載せておきます。

'[VBA] 完全数の探索

Sub Search_Perfect()

　　Dim k As Long

　　For k = 1 To 10000
　　　　If k = SDIVISOR(k, 1) Then
　　　　　　Debug.Print k;
　　　　End If
　　Next k

End Sub

　Search_Perfect() を実行すると 10000 までの数について判定を行い、

　6　　28　　496　　8128

という 4 個の完全数を見つけ出します。