σ(n)：全ての約数のべき乗を足し加える関数

約数関数の定義

約数関数の定義

【定義D2】ある自然数

n

について、全ての約数のべき乗を足し加えたものを約数関数（divisor function）と定義する：

σ_{k} (n) = \sum_{d | n} d^{k} = d_{1}^{2} + d_{2}^{2} + \dots

べき関数 $f (n) = n^{k}$ は
$f (a b) = (a b)^{k} = a^{k} b^{k} = f (a) f (b)$
という関係を満たすので乗法的関数です。したがって前回記事の定理D2

f (n)

が乗法的関数　

⟹ g (n) = \sum_{d | n} f (d)

も乗法的関数

によって、約数関数もまた乗法的関数であることがわかります。　

約数の個数

$σ_{k} (n)$ の定義において $k = 0$ とすると

σ_{0} (n) = \sum_{d | n} 1

となり、これは約数を 1 個、2 個と数えることを意味します。つまり $σ_{0} (n)$ は約数の個数を表す関数です。たとえば $12$ の約数は
${1, 2, 3, 4, 6, 12}$
の $6$ 個なので、 $σ_{0} (12) = 6$ となります。もし $n$ がある１つの素数 $p$ のべき乗 $n = p^{a} (a \in Z)$ であるならば、その約数は
${1, p, p^{2}, \dots, p^{a}}$
の $a + 1$ 個となるので、 $σ_{0} (p^{a}) = a + 1$ となります。そこで次の定理が成り立ちます。

【定理D3】ある自然数

n

が

n = p_{1}^{a 1} p_{2}^{a 2} \dots (a_{1}, a_{2}, \dots \in Z)

のように素因数分解されるとき、約数の個数は

σ_{0} (n) = (a_{1} + 1) (a_{2} + 1) \dots

で与えられる。

たとえば $12$ を素因数分解すると $12 = 2^{2} 3^{1}$ となるので、
$σ_{0} (12) = (2 + 1) (1 + 1) = 6$
となります。もっと大きな数で試してみましょう。たとえば
$29400 = 2^{3} 3^{1} 5^{2} 7^{2}$
なので、約数の個数は
$σ_{0} (29400) = (3 + 1) (1 + 1) (2 + 1) (2 + 1) = 72$
となります。

約数の和

約数関数 $σ_{k} (n) = \sum_{d | n} d^{k}$ において $k = 1$ とすると
$σ_{1} (n) = \sum_{d | n} d = d_{1} + d_{2} + \dots$
となり、これは約数の和を表す式です。たとえば $n = 10$ の約数を並べると
${1, 2, 5, 10}$
なので、その総和は
$σ_{1} (n) = 1 + 2 + 5 + 10 = 18$
となります。もっと大きな数になると約数を全部並べるのは大変なので、素因数分解を利用して総和を求めます。仮に $n$ がある１つの素数 $p$ のべき乗 $n = p^{a} (a \in Z)$ で表されるとき、その約数は
${1, p, p^{2}, \dots, p^{a}}$
の $a + 1$ 個となるので、その総和は等比級数の公式を用いて
$σ_{1} (p^{a}) = 1 + p + p^{2} + \dots + p^{a} = \frac{p^{a + 1} - 1}{p - 1}$
というように求められます。

【定理D4】自然数

n

が

p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \dots

のように素因数分解されるとき、その約数の総和は

σ_{1} (n) = \frac{p_{1}^{a_{1} + 1} - 1}{p_{1} - 1} \frac{p_{2}^{a_{2} + 1} - 1}{p_{2} - 1} \dots

で与えられる。

[証明] 約数関数は乗法的関数なので、
$σ_{1} (a b) = σ_{1} (a) σ_{1} (b)$
が成り立ちます。よって
$σ_{1} (n) = σ_{1} (p_{1}^{a_{1}}) σ_{1} (p_{2}^{a_{2}}) \dots = \frac{p_{1}^{a_{1} + 1} - 1}{p_{1} - 1} \frac{p_{2}^{a_{2} + 1} - 1}{p_{2} - 1} \dots$
となります。（証明終）

【おすすめ記事】 ≫ Excel で約数表を作成する

完全数と友愛数

上の公式を $28$ という数字に適用してみます。 $28 = 2^{2} 7^{1}$ なので、 $28$ の約数の総和は
$σ_{1} (28) = \frac{2^{3} - 1}{2 - 1} \frac{7^{2} - 1}{7 - 1} = 56$
となります。この値から自身の数 $28$ を引くと $28$ となって、ちょうど自身に等しい値となります。一般に「自身を除いた約数の和が自身に等しくなるような数」のことを完全数とよびます。その定義を約数関数を用いて表すと
$n = σ_{1} (n) - n ⟺ σ_{1} (n) = 2 n$
となります。また「自身を除いた約数の和が互いに等しくなる数」、すなわち
${\begin{cases} σ_{1} (a) - a = b \\ σ_{1} (b) - b = a \end{cases}$
が成り立つような 2 数のことを友愛数（親和数）とよびます。上の定義から $σ_{1} (a) = σ_{1} (b)$ が成り立つので、友愛数とは $σ_{1} (n)$ が互いに等しくなるような $n$ と言い換えることもできます。

完全平方数に関する定理

約数関数 $σ_{k} (n) = \sum_{d | n} d^{k}$ において $k = 2$ とおくと
$σ_{2} (n) = \sum_{d | n} d^{k} = d_{1}^{2} + d_{2}^{2} + \dots$
となり、これは約数の 2 乗和（平方和）を表す式となります。ある自然数が素数 $p$ を用いて $n = p^{a}$ の形で表されるとき、その約数を並べると
${1, p, p^{2}, \dots, p^{a}}$
の $a + 1$ 個であり、それぞれを 2 乗すると
${1, p^{2}, p^{4}, \dots, p^{2 a}}$
となるので、等比級数の公式を使って足し合わせると、
$σ_{2} (p^{a}) = 1 + p^{2} + p^{4} + \dots + p^{2 a} = \frac{p^{2 (a + 1)} - 1}{p^{2} - 1}$
となります。したがって $n$ が $p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \dots$ のように素因数分解されるとき、その約数の総和は
$σ_{1} (n) = \frac{p_{1}^{2 a_{1} + 2} - 1}{p_{1}^{2} - 1} \frac{p_{2}^{2 a_{2} + 2} - 1}{p_{2}^{2} - 1} \dots$
で与えられます。約数和と約数の 2 乗和、および完全平方数の間には次のような定理が成り立ちます。

【定理D5】ある自然数

n

が完全平方数であるとき、

σ_{1} (n) | σ_{2} (n)

が成り立つ。

[証明]
$n$ は平方数なので素数 $p$ を用いて $n = p^{2 a}$ と書けます。
等比級数の公式を用いて $σ_{1} (n), σ_{2} (n)$ を計算すると
$\begin{aligned} σ_{1} (n) & = \frac{p^{2 (a + 1)} - 1}{p^{2} - 1} \\ σ_{2} (n) & = \frac{p^{2 (2 a + 1)} - 1}{p^{2} - 1} = \frac{(p^{2 a + 1} + 1) (p^{2 a + 1} - 1)}{(p + 1) (p - 1)} \end{aligned}$
となるので、
$\frac{σ_{2} (n)}{σ_{1} (n)} = \frac{p^{2 (a + 1)} + 1}{p + 1}$
$p^{2 (a + 1)} + 1$ は $p = - 1$ を因子にもつので $p + 1$ で割り切れます。したがって $σ_{2} (n) / σ_{1} (n)$ は整数であり、 $σ_{2} (n)$ は $σ_{1} (n)$ で割り切れます。（証明終）

簡単な例で定理を試してみます。 $n = 9$ とすると
$σ_{1} (9) = 1 + 3 + 9 = 13, σ_{2} (9) = 1^{2} + 3^{2} + 9^{2} = 91$
なので、 $σ_{2} (9) / σ_{1} (9) = 7$ となって確かに割り切れます。