ガウスの整数

【CX07】ガウスの整数

$m,n$ を任意の整数として、複素数 $m+ni$ からなる集合を $S$ とします。
 $$S=\{m+ni|m,n\in \mathbb{Z}\}$$$S$ の元 $a,b$ に対して $a=bc$ を満たす $S$ の元 $c$ が存在するとき、$b$ は $a$ の約数であるといいます。$1$ の約数をすべて求めてください。
 
【ヒント】$m+ni$ をガウスの整数とよびます。ガウスの整数は「複素数によって拡大定義された整数」であり、その約数もまた普通の整数の場合とは異なります。とはいえ本問はごく基本的な内容で、普段の複素数計算で感覚的に知っている $\pm 1$ や $\pm i$ といった数の他に $1$ の約数が存在するのかということを再確認する問題です。

【解答】求める約数を $x+iy$ とおくと
 $$1=(x+iy)(m+ni)$$
と書くことができます。右辺を展開して整理すると
 $$1=(mx-ny)+(nx+my)i$$
となるので
 $$\begin{array}{r}mx-ny=1\\ nx+my=0\end{array}$$
という連立方程式を立てられます。行列を用いて書き直すと
 $$\left(\begin{array}{cc}x& -y\\ y& x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$$
$x+iy\ne 0$ なので、$x^2+y^2\ne 0$　です。すなわち逆行列が存在して
 $$\left(\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right)=\frac{1}{x^2+y^2}\left(\begin{array}{cc}x& y\\ -y& x\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\frac{1}{x^2+y^2}\left(\begin{array}{c}x\\ -y\end{array}\right)$$
$m$ と $n$ をそれぞれ平方して加えると
 $$m^2+n^2=\frac{1}{x^2+y^2}$$
となるので、
 $$(m^2+n^2)(x^2+y^2)=1\therefore x^2+y^2=1$$
$x$ と $y$ は整数なので、
 $$(x,y)=(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$$
つまり 1 の約数は
 $$\pm 1,\pm i$$
の４つということになります。念のために $1$ を約数の積で書くと
 $$1=1\cdot 1,(-1)\cdot (-1),i\cdot (-i)$$
となります。