ガウスの整数

【CX07】ガウスの整数

$m,\:n$ を任意の整数として、複素数 $m+ni$ からなる集合を $S$ とします。
 \[S=\{m+ni\:|\:m,\:n\:\in\mathbb{Z}\}\]$S$ の元 $a,\:b$ に対して $a=bc$ を満たす $S$ の元 $c$ が存在するとき、$b$ は $a$ の約数であるといいます。$1$ の約数をすべて求めてください。
 
【ヒント】$m+ni$ をガウスの整数とよびます。ガウスの整数は「複素数によって拡大定義された整数」であり、その約数もまた普通の整数の場合とは異なります。とはいえ本問はごく基本的な内容で、普段の複素数計算で感覚的に知っている $\pm 1$ や $\pm i$ といった数の他に $1$ の約数が存在するのかということを再確認する問題です。

【解答】求める約数を $x + iy$ とおくと
 \[1=(x+iy)(m+ni)\]
と書くことができます。右辺を展開して整理すると
 \[1=(mx-ny)+(nx+my)\:i\]
となるので
 \[\begin{align*}mx-ny=1\\[6pt]nx+my=0\end{align*}\]
という連立方程式を立てられます。行列を用いて書き直すと
 \[\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m\\n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}\]
$x+iy\neq 0$ なので、$x^2+y^2\neq 0$　です。すなわち逆行列が存在して
 \[\begin{pmatrix}m\\n\end{pmatrix}=\frac{1}{x^2+y^2}\:\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}=\frac{1}{x^2+y^2}\:\begin{pmatrix}x\\-y\end{pmatrix}\]
$m$ と $n$ をそれぞれ平方して加えると
 \[m^2+n^2=\frac{1}{x^2+y^2}\]
となるので、
 \[(m^2+n^2)(x^2+y^2)=1\quad\therefore x^2+y^2=1\]
$x$ と $y$ は整数なので、
 \[(x,y)=(1,0),\quad (0,1),\quad (-1,0),\quad (0,-1)\]
つまり 1 の約数は
 \[\pm 1,\quad\pm i\]
の４つということになります。念のために $1$ を約数の積で書くと
 \[1=1\cdot 1,\quad (-1)\cdot (-1),\quad i\cdot (-i)\]
となります。