倍角公式と半角公式の証明

三角関数の倍角公式

ある角度 $\theta$ に対する倍角 $2\theta$ は次のように関連付けられます。
 $$\begin{array}{}\text{(1)}& \sin 2\theta =& 2\sin \theta \cos \theta \text{(2)}& \cos 2\theta =& {\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta \text{(3)}& \cos 2\theta =& 1-2{\sin }^2\theta \text{(4)}& \cos 2\theta =& 2{\cos }^2\theta -1\text{(5)}& \tan 2\theta =& \frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }\text{(6)}& {\tan }^2\theta =& \frac{1-\cos 2\theta }{1+\cos 2\theta }\end{array}$$

倍角公式の証明① 加法定理

倍角公式は加法定理
 $$\begin{gathered} \sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y \\ \cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y \end{gathered}$$
において $x=y=\theta$ とした特別な場合です。
 $$\begin{array}{}\text{(1)}& \sin 2\theta =& 2\sin \theta \cos \theta \text{(2)}& \cos 2\theta =& {\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta \end{array}$$
ここで三角関数の基本公式
 $${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$$
を用いると
 $$\begin{array}{}\text{(3)}& \cos 2\theta =& 1-2{\sin }^2\theta \text{(4)}& \cos 2\theta =& 2{\cos }^2\theta -1\end{array}$$
を得ることができます。また正接 (tangent) の定義に従えば
 $$\begin{array}{}\text{(5)}& \tan 2\theta =\frac{\sin 2\theta }{\cos 2\theta }=\frac{2\sin \theta \cos \theta }{{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta }=\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }\end{array}$$
また、(3) と (4) を用いると
 $$\begin{array}{}\text{(6)}& {\tan }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{1+\cos 2\theta }\end{array}$$
が得られます。

倍角公式の証明② オイラーの公式を用いる方法

オイラーの公式の行列表現（回転行列）
 $$e^{\theta I}=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$
を用いて (1) と (2) を証明することもできます。
 $$\begin{array}{rl}{e}^{\theta I}{e}^{\theta I}=& \left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\\ =& \left(\begin{array}{cc}{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta & -2\sin \theta \cos \theta \\ 2\sin \theta \cos \theta & {\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta \end{array}\right)\end{array}$$
一方で左辺の行列積は
 $$e^{\theta I}{e}^{\theta I}=e^{2\theta I}=\left(\begin{array}{cc}\cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{array}\right)$$
と書けるので、
 $$\begin{array}{}\text{(1)}& \sin 2\theta =& 2\sin \theta \cos \theta \text{(2)}& \cos 2\theta =& {\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta \end{array}$$
となります。

三角関数の半角公式

三角関数の半角公式は以下のようなものが知られています。
 $$\begin{array}{}\text{(7)}& {\sin }^2\frac{\theta }{2}=& \frac{1-\cos \theta }{2}\text{(8)}& {\cos }^2\frac{\theta }{2}=& \frac{1+\cos \theta }{2}\text{(9)}& {\tan }^2\frac{\theta }{2}=& \frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }\text{(10)}& \sin \theta =& 2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}\text{(11)}& \tan \frac{\theta }{2}=& \frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }\text{(12)}& \tan \frac{\theta }{2}=& \frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }\end{array}$$
【半角公式の証明】半角公式は本質的に倍角公式と同じものです。
 $$\begin{array}{rl}\cos 2\theta =& 1-2{\sin }^2\theta \\ \cos 2\theta =& 2{\cos }^2\theta -1\end{array}$$
において、${\displaystyle \theta \Rightarrow \frac{\theta }{2}}$ の変換によって、それぞれ
 $$\begin{array}{rl}\cos \theta =& 1-2{\sin }^2\frac{\theta }{2}\\ \cos \theta =& 2{\cos }^2\frac{\theta }{2}-1\end{array}$$
となるので、これを少し変形して
 $$\begin{array}{}\text{(7)}& {\sin }^2\frac{\theta }{2}=& \frac{1-\cos \theta }{2}\text{(8)}& {\cos }^2\frac{\theta }{2}=& \frac{1+\cos \theta }{2}\end{array}$$
が得られます。(7) と (8) から
 $$\begin{array}{}\text{(9)}& {\tan }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }\end{array}$$
となります。

公式 (10) も倍角公式から導きます。
 $$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$$
において、${\displaystyle \theta \Rightarrow \frac{\theta }{2}}$ と変換して
 $$\sin \theta =2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}\tan 10$$
となります。

(11) と (12) は教科書に載っていませんが、知っておくと便利な公式です。むしろ 2 乗の形になっていないので、タンジェントの半角公式としては (9) よりも強力な公式と言えます。右辺を計算すると簡単に証明できます。
 $$\begin{array}{rl}\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }=& \frac{2{\sin }^2\frac{\theta }{2}}{2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}}=\tan \frac{\theta }{2}\\ \frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }=& \frac{2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}}{2{\cos }^2\frac{\theta }{2}}=\tan \frac{\theta }{2}\end{array}$$
(11) と (12) は単位円上の座標 $(\cos \theta ,\sin \theta )$ を半角 $-\theta /2$ だけ回転させる線型変換と考えて証明することもできます。
 $$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}\cos \frac{\theta }{2}\\ \sin \frac{\theta }{2}\end{array}\right)=& \left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\theta }{2}& \sin \frac{\theta }{2}\\ -\sin \frac{\theta }{2}& \cos \frac{\theta }{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)\\ =& \left(\begin{array}{c}\cos \theta \cos \frac{\theta }{2}+\sin \theta \sin \frac{\theta }{2}\\ \sin \theta \cos \frac{\theta }{2}-\cos \theta \sin \frac{\theta }{2}\end{array}\right)\end{array}$$
両辺を $\cos \theta /2$ で割って
 $$\left(\begin{array}{c}1\\ \tan \frac{\theta }{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\cos \theta +\sin \theta \tan \frac{\theta }{2}\\ \sin \theta -\cos \theta \tan \frac{\theta }{2}\end{array}\right)$$
よって、
 $$\begin{array}{}\text{(11)}& \tan \frac{\theta }{2}=& \frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }\text{(12)}& \tan \frac{\theta }{2}=& \frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }\end{array}$$
となります。