sin^2x, cos^2x, sin^3x, cos^3x の積分公式

sin^2x の積分, cos^2x の積分, tan^2x の積分

 $\sin^2 x,\ \cos^2 x,\ \tan^2 x$ の積分はよく出てきます。
 比較的簡単な形をしているので、覚えてしまって損はありません:
 
\[\begin{align*}\int \mathrm{sin}^{2}xdx&=\frac{x}{2}-\frac{\mathrm{sin}2x}{4}+C\tag{1}\\[6pt]
\int \mathrm{cos}^{2}xdx&=\frac{x}{2}+\frac{\mathrm{sin}2x}{4}+C\tag{2}\\[6pt]
\int \mathrm{tan}^{2}xdx&=\mathrm{tan}x-x+C\tag{3}\end{align*}\]
 特に定積分の場合は区間 $[0, \pi/2]$ の積分を1ユニットとして記憶します:
 
\[\int_{0}^{\pi /2}\mathrm{sin}^{2}xdx=\frac{\pi}{4}\tag{4}\] 
 この値を知っていれば、区間 $[0, \pi]$ における積分なら倍の $\pi/2$、区間 $[0, 2\pi]$ における積分であれば 4 倍の $\pi$ を得ることになります(下図参照)。$\cos^2 x$ の積分も区間 $[0, n\pi]$ の積分であれば全く同じ値をとることになります。

 sin^2x面積

 余力があれば、(1) ~ (3) をより一般化した次の公式を覚えてください;
 
\[\begin{align*}\int \mathrm{sin}^{2}mxdx&=\frac{x}{2}-\frac{\mathrm{sin}\, 2mx}{4m}+C\tag{5}\\[6pt]
\int \mathrm{cos}^{2}mxdx&=\frac{x}{2}+\frac{\mathrm{sin}\, 2mx}{4m}+C\tag{6}\\[6pt]
\int \mathrm{tan}^{2}mxdx&=\frac{\mathrm{tan}\, mx}{m}-x+C\tag{7}\end{align*}\]
 
 $\mathrm{cosec}^{2}x,\ \mathrm{sec}^{2}x,\ \mathrm{cot}^{2}x$ の積分はより簡単な形をしています:
 
\[\begin{align*}&\int \mathrm{cosec}^{2}xdx=-\mathrm{cot}x+C\tag{8}\\[6pt]
&\int \mathrm{sec}^{2}xdx=\mathrm{tan}x+C\tag{9}\\[6pt]
&\int \mathrm{cot}^{2}xdx=-\mathrm{cot}x-x+C\tag{10}\end{align*}\]
 $\mathrm{cosec}$ や $\mathrm{sec}$ の記号に慣れない人のために書き直すと次のようになります:
 
\[\begin{align*}&\int \frac{dx}{\mathrm{sin}^{2}x}=-\frac{1}{\mathrm{tan}x}+C\tag{11}\\[6pt]
&\int \frac{dx}{\mathrm{cos}^{2}x}=\mathrm{tan}x+C\tag{12}\\[6pt]
&\int cot^{2}xdx=-\frac{1}{\mathrm{tan}x}-x+C\tag{13}\end{align*}\]
 簡単な計算例を載せておきます:
 
\[\int \frac{dx}{\mathrm{cos}^{2}\ x\mathrm{sin}^{2}x}=\int \left (\frac{1}{\mathrm{cos}^{2}x}+\frac{1}{\mathrm{sin}^2{x}} \right )dx=\mathrm{tan}x-\mathrm{cot}x+C\]
 

sin^3x, cos^3x の積分

 $\sin^3 x$ と $\cos^3 x$ の積分は意外と覚えやすい形をしています:
 
\[\begin{align*}\int \mathrm{sin}^{3}xdx=\frac{1}{3}\mathrm{cos}^{3}x-\mathrm{cos}x+C\tag{14}\\[6pt]
\int \mathrm{cos}^{3}xdx=\mathrm{sin}x-\frac{1}{3}\mathrm{sin}^{3}x+C\tag{15}\end{align*}\]
 $\sin$ に対しては $\cos$ が、$\cos$ に対しては $\sin$ が式に現れてくるとイメージしておくと覚えやすいです。とくに $0$ から $\pi/2$ までの積分は 
 
\[\int_{0}^{\pi/2} \mathrm{sin}^{3}xdx=\int_{0}^{\pi/2} \mathrm{cos}^{3}xdx=\frac{2}{3}\tag{16}\]
 となります。$\sin^2 x$ の積分のときと同様に、上式を 1 ユニットとして区間 $[0,\pi]$, $[0,3\pi/2]$ について計算することも可能ですが、三角関数の指数部分が奇数の場合は負の面積が生じるので単純に定数倍することはできません。

 sinx3乗積分

 この図から $\sin^3 x$ の定積分に関しては、
 
\[\begin{align*}&\int_{0}^{\pi} \sin^{3}xdx=\frac{4}{6}\tag{17}\\
&\int_{0}^{3\pi/2} \sin^{3}xdx=\frac{2}{3}\tag{18}\\
&\int_{0}^{2\pi} \sin^{3}xdx=0\tag{19}\end{align*}\]
のような計算が成立します。

 cosx3乗積分

 同様に上図から $\cos^3 x$ の定積分は、
 
\[\begin{align*}&\int_{0}^{\pi} \mathrm{cos}^{3}xdx=0\tag{20}\\
&\int_{0}^{3\pi/2} \mathrm{cos}^{3}xdx=-\frac{2}{3}\tag{21}\\
&\int_{0}^{2\pi} \mathrm{cos}^{3}xdx=0\tag{22}\end{align*}\]
が成り立ちます。図を明確にイメージすれば(というより紙に簡単な図を描いてください)、区間 $[\pi,3\pi/2]$ についても同様の計算が可能です。


 

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