ロピタルの定理で 0/0 の不定形極限値を求めます

ロピタルの定理 L'Hospital's rule

 0/0 の不定形の極限値を求めるときに、次の ロピタルの定理 (L'Hospital's rule) が役立つときがあります。

 関数 $f(x)$ と $g(x)$ が $[a,\:b]$ で連続、区間内で微分可能、$g'(x) \neq 0$ であるとします。また $f'(x)/g'(x)$ が $x\rightarrow a$ で極限値をもつならば、$f(a)=f(b)=0$ のときに
\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}\]が成り立ちます。

ロピタルの定理の証明

 コーシーの平均値の定理 を用います。$a$ より大きな $x$ に対しては
 
\[\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} \quad (a \lt c \lt x)\]
となるような $c$ が存在します。$x\rightarrow a$ とすれば $c\rightarrow a$ となるので、
 
\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}\]
が成り立ちます。同様に$a$ より小さな $x$ に対して
 
\[\frac{f(a)-f(x)}{g(a)-g(x)}=\frac{f'(d)}{g'(d)} \quad (x \lt d \lt a)\]
となるような $d$ が存在します。$x\rightarrow a$ とすれば $d\rightarrow a$ となるので、やはり
 
\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}\]
が成り立ちます。

ロピタルの定理の応用例

 ロピタルの定理を用いると、非常に有用な関数の極限値が得られます。たとえば有名な $\sin x/x$ の $x\rightarrow 0$ における極限値は
 
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x}{1}=1\]
というように簡単に計算できます。念のために定理の適用条件を確認しておくと、$f(x)=\sin x$ と $g(x)=x$ はともに実数全域で連続かつ微分可能で、$g'(x)=1 \neq 0$ , $f(0)=g(0)=0$ を満たしています。同様に
 
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{2x}=\frac{1}{2}\]
という極限値も得られます。証明は省略しますが(後日改めてこのページに更新掲載する予定です)、ロピタルの定理は ∞/∞ の形にも適用範囲を広げることができます。たとえば $e^x/x^2$ について
 
\[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{e^x}{x^2}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{e^x}{2x}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{e^x}{2}=\infty\]
となります。$e^x$ は何度微分しても形は変わらないので、$e^x/x^n$ についても全く同じように
 
\[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{e^x}{x^n}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{e^x}{n(n-1)\cdot 2\cdot 1}=\infty\]
となることがわかります。また $n \gt 0$ のとき $\log x/x^n$ は
 
\[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\log x}{x^n}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1/x}{nx^{n-1}}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{nx^n}=0\]
となります。以上の2つについては公式として覚えておくと便利です。

\[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{e^x}{x^n}=\infty,\quad \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\log x}{x^n}=0\]

 つまり $x$ を十分に大きくとれば、指数関数は $x^{10}$ や $x^{100}$ のようにどれだけ大きな指数の $x$ のべき乗関数よりも速く増加し、対数関数は $x^{0.1}$ や $x^{0.01}$ のようにどれほど小さな指数の $x$ のべき乗関数よりも緩やかに増加します。 ≫ 数学辞典

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