整数環のイデアルと剰余環

整数環のイデアルと剰余環（単位元をもつ可換環）

$m$ を整数とするとき、 $m$ の倍数の集合を
$m Z = {x | x = k m, k \in Z}$
と書きます。たとえば偶数全体の集合は
$2 Z = {\dots - 6, - 4, - 2, 0, 2, 4, 6 \dots}$
のように表されます。また整数全体の集合 $Z$ を
$a \equiv b (\mod 2)$
という同値関係で偶数集合と奇数集合に分けるとき、
$Z / 2 Z = {C_{0}, C_{1}}$
のように書きます。

【定義C4】一般に

m

の倍数の集合

m Z = {x | x = k m, k \in Z}

を整数環

Z

の イデアル (ideal) とよび、整数全体の集合

Z

を

a \equiv b (\mod m)

という同値関係で分類するとき、

Z / m Z = {C_{0}, C_{1}, C_{2}, \dots, C_{m - 1}}

を剰余環 とよぶ。

ある整数 $a$ は剰余類 $C_{a}$ に属し、剰余類 $C_{a}$ は剰余環 $Z / m Z$ に属するので、厳密には
$a \in C_{a} \in Z / m Z$
と書くべきですが、これを省略して
$a \in Z / m Z$
と表すこともあります。本講座でも以降はこのように書きます。剰余環は文字通り「環の公理」、すなわち次の 8 個の法則を全て満たしています。

【剰余環の性質】

a, b, c \in Z / m Z

であるとき

a + b \in Z / m Z, a b \in Z / m Z

[R1] 加法交換法則　

a + b \equiv b + a (\mod m)

[R2] 加法結合法則　

a + (b + c) \equiv (a + b) + c (\mod m)

[R3] ゼロ元の存在　

a + 0 \equiv 0 + a \equiv a (\mod m)

[R4] 反元の存在　　

a + (- a) \equiv (- a) + a \equiv 0 (\mod m)

[R5] 乗法交換法則　

a b \equiv b a (\mod m)

[R6] 乗法結合法則　

(a b) c \equiv a (b c) (\mod m)

[R7] 単位元の存在　

1 \cdot a \equiv a \cdot 1 \equiv a (\mod m)

[R8] 分配法則　　　

a (b + c) \equiv a b + a c, (a + b) c \equiv a c + b c (\mod m)

これらの法則が成り立つことは簡単に確認できます。たとえば [2] の場合、左辺から右辺を引いて
$a + (b + c) - (a + b) - c \equiv 0 (\mod m)$
となることが示されます。剰余環に限らず、このような条件を満たすシステム R のことを厳密には「単位元をもつ可換環」といいますが、それを略して環 (ring) とよぶことにします。ちなみに「整数環」という言葉も出てきましたが、整数全体の集合 $Z$ も環の公理を満たします。

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整数環のイデアルと剰余環（単位元をもつ可換環）

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