非線形方程式の線形化(ベルヌーイ方程式)

ベルヌーイ方程式 Bernoulli’s equation

 次の形の方程式を ベルヌーイ方程式 といいます。
 
\[\frac{dy}{dx}+p(x)y+q(x)y^k=0\tag{A}\]
 これは非線形方程式ですが、変数変換することで線形方程式に帰着することができます。両辺を $y^k$ で割ると
 
\[y^{-k}y’+p(x)y^{1-k}+q(x)=0\]
 ここで $(y^{1-k})’=(1-k)y^{-k}y’$ を用いて $y’$ を消すと
 
\[(y^{1-k})’+(1-k)\{p(x)y^{1-k}+q(x)\}=0\]
となるので、$z=y^{1-k}$ とおくと
 
\[z’+(1-k)p(x)z+(1-k)q(x)=0\tag{A1}\]
というように、1次線形微分方程式の形になります。このように非線形方程式を線形方程式の形に帰着させることを 線形化 (linearization) といいます。(A1) の形を覚えておくのは大変なので、実際には上でやったような手順をなぞることになります。以下に解き方の例を載せておきます。次のような形の方程式
 
\[y’++y+xy^2=0\tag{B}\]
を解いてみましょう。まず両辺を $y^2$ で割ります。
 
\[\frac{y’}{y^2}+\frac{1}{y}+x=0\]
 $(1/y)’=-y’/y^2$ なので
 
\[\left(\frac{1}{y’}\right)^2-\frac{1}{y}-x=0\]
 $z=1/y$ とおくと
 
\[z’-z=x\tag{B1}\]
となります。ここで右辺を 0 とおいた斉次方程式
 
\[w’-w=0\]
の解の1つは $w=e^x$ なので、
 
\[z=a(x)e^x\]
とおいて (B1) に代入すると
 
\[a'(x)=-(x+1)e^{-x}+c\]
となります。積分公式
 
\[\int f(x)dx=-\{f(x)+f'(x)+f^{\prime\prime}(x)+\cdots\}e^x+c\]
を使って積分すると
 
\[a(x)=-(x+1)e^x+c\]
となるので
 
\[z=ce^x-x-1\]
 $y=1/z$ なので
 
\[y=\frac{1}{ce^x-x-1}\]
という解が得られます。

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