加法定理の証明

加法定理

加法定理とは $x+y$ や $x-y$ を変数とする三角関数を $\cos{x}$ や $\sin{y}$ など単独変数の三角関数に分離する公式です。
 \[\begin{align*}\sin(x+y)=&\sin{x}\cos{y}+\cos{x}\sin{y}\tag{1}\\[8pt]\sin(x-y)=&\sin{x}\cos{y}-\cos{x}\sin{y}\tag{2}\\[8pt]\cos(x+y)=&\cos{x}\cos{y}-\sin{x}\sin{y}\tag{3}\\[8pt]\cos(x-y)=&\cos{x}\cos{y}+\sin{x}\sin{y}\tag{4}\\[8pt]\tan(x+y)=&\frac{\tan{x}+\tan{y}}{1-\tan{x}\,\tan{y}}\tag{5}\end{align*}\]

加法定理の証明① オイラーの公式から導きます

オイラーの公式\(e^{i\theta}=\cos\theta+i\:\sin\theta\) より
 \[e^{i(x+y)}=\cos(x+y)+i\:\sin(x+y)\]
となりますが、左辺は
 \[\begin{align*}e^{ix}e^{iy}=&(\cos{x}+i\:\sin{x})\:(\cos{y}+i\:\sin{y})\\[8pt]=&\cos{x}\:\cos{y}-\sin{x}\:\sin{y}+i(\sin{x}\:\cos{y}+\cos{x}\:\sin{y})\end{align*}\]　
と書けるので、実数部と虚数部を比較して
 \[\begin{align*}\sin(x+y)=\sin{x}\cos{y}+\cos{x}\sin{y}\tag{1}\\[8pt]\cos(x+y)=\cos{x}\cos{y}-\sin{x}\sin{y}|\tag{3}\end{align*}\]
となります。$y$ を $-y$ に置き換えると (1) から (2) 、(3) から (4) をそれぞれ得ることができます。
 \[\begin{align*}\sin(x-y)=\sin{x}\cos{y}-\cos{x}\sin{y}\tag{2}\\[8pt]\cos(x-y)=\cos{x}\cos{y}+\sin{x}\sin{y}\tag{4}\end{align*}\]

正弦と余弦の加法定理を用いて
 \[\tan(x+y)=\frac{\sin(x+y)}{\cos(x+y)}=\frac{\sin{x}\:\cos{y}+\sin{x}\:\sin{y}}{\cos{x}\:\cos{y}-\sin{x}\:\sin{y}}\]
となるので、分子と分母を $\cos{x}\cos{y}$ で割ると正接の加法定理
 \[\tan(x+y)=\frac{\tan{x}+\tan{y}}{1-\tan{x}\,\tan{y}}\]
を得ます。

加法定理の証明② 回転行列を用いる方法

オイラーの公式の行列表現（回転行列）
 \[e^{\theta I}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\[8pt]\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\]
を用いても簡単に証明されます。
 \[\begin{align*}e^{xI}e^{yI}=&\begin{pmatrix}\cos{x}&-\sin{x}\\\sin{x}&\cos{x}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos{y}&-\sin{y}\\\sin{y}&\cos{y}\end{pmatrix}\\[8pt]=&\begin{pmatrix}\cos{x}\,\cos{y}-\sin{x}\:\sin{y}&-\cos{x}\,\sin{y}-\sin{x}\: \cos{y}\\\sin{x}\,\cos{y}+\cos{x}\:\sin{y}&-\sin{x}\,\sin{y}+\cos{x}\:\cos{y}\end{pmatrix}\end{align*}\]
一方で左辺の行列積は
 \[e^{xI}e^{yI}=e^{(x+y)I}\begin{pmatrix}\cos(x+y)&-\sin(x+y)\\\sin(x+y)&\cos(x+y)\end{pmatrix}\]
と書けるので、
 \[\begin{align*}\sin(x+y)=\sin{x}\cos{y}+\cos{x}\sin{y}\tag{1}\\[8pt]\cos(x+y)=\cos{x}\cos{y}-\sin{x}\sin{y}\tag{3}\end{align*}\]
となります。

加法定理の応用例

加法定理は $\sin{75^\circ}$ や $\tan{15^\circ}$ のように、そのままでは計算できない三角関数の値を得るために利用できます。
 \[\begin{align*}\sin{75^\circ}=&\sin(45^{\circ}+30^{\circ})\\[8pt]=&\sin{45^\circ}\cos{30^\circ}+\cos{45^\circ}\sin{30^\circ}\\[8pt]=&\frac{\sqrt{2}}{2}\:\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\:\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\end{align*}\]
\[\tan{75^\circ}=\frac{\tan{45^\circ}-\tan{30^\circ}}{1+\tan{45^\circ}\: \tan{30^\circ}}=\frac{1-1/\sqrt{3}}{1+1/\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}\]