無限数列の項比による収束判定法

無限数列について収束を判定するために、隣り合った項比を利用することがあります。
 $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$$
この定理を証明してみましょう。
$n\to \mathrm{\infty }$ で項比の絶対値が $1$ より小さな値に収束するとします。
 $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=c<r<1$$
すると、ある数より大きい全ての $N$ について
　
$$\left|\frac{a_{N+1}}{a_N}\right|<r$$
が成立するはずです（有限の $N$ を考えているので、最終的な収束値 $c$ よりは大きな値かもしれませんが、少なくとも $1$ よりは小さな、何かしらの値 $r$ をとるということです）。これは番号 $N$ を上げても当然成り立ちます。
 $$\left|\frac{a_{N+2}}{a_{N+1}}\right|<r,\left|\frac{a_{N+3}}{a_{N+2}}\right|<r,\left|\frac{a_{N+3}}{a_{N+2}}\right|<r,\cdots \left|\frac{a_{N+k}}{a_{N+k-1}}\right|<r$$
これを全部掛け合わせてしまうと
 $$\left|\frac{a_{N+1}}{a_N}\right|\left|\frac{a_{N+2}}{a_{N+1}}\right|\left|\frac{a_{N+3}}{a_{N+2}}\right|\cdots \left|\frac{a_{N+k}}{a_{N+k-1}}\right|<r^k$$
隣り合った分数同士の分母と分子がキャンセルしあって
 $$\left|\frac{a_{N+k}}{a_N}\right|<r^k$$
という式が得られます。つまり
 $$\begin{array}{rl}& \left|a_{N+k}\right|<\left|a_N\right|r^k\\ & \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|a_{N+k}\right|<\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|a_N\right|r^k\end{array}$$
$0<r<1$ なので、右辺の極限は $0$ となります。よって、
 $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$$
となって
 $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$$
であることが証明されました。