右側極限と左側極限

【CL01】関数の右側極限と左側極限

関数 $f(x)$ を次のように定義します。
$$f(x)=\frac{1}{(x-1{)}^3}$$(1) ${\displaystyle \underset{x\to 1+0}{lim}f(x)}$ と ${\displaystyle \underset{x\to 1-0}{lim}f(x)}$ を求めてください。
(2) ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)}$ と ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)}$ を求めてください。
(3) $f(x)$ のグラフの概形を描いてください。

【ヒント】関数の極限値を求める基本的な問題です。(1) の $x\to 1+0$ は 1 より大きい値をとりながら $1$ に近づく極限（右側極限）、$x\to 1–0$ は 1 より小さい値をとりながら $1$ に近づく極限（左側極限）です。
　
【解答】(1) 分母は $3$ 乗の形になっているので、その符号は右側極限では正に、左側極限では負になることに注意します。

$$\underset{x\to 1+0}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty },\underset{x\to 1-0}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$$
　右側極限は分母が $1$ よりほんの少し大きな値、左側極限は分母が $1$ よりほんの少し小さな値を代入するという感覚です。もう少し丁寧にするならば、たとえば左側極限は $x=1-a$ とおいて、
 $$\underset{a\to 0}{lim}f(x)=\underset{a\to 0}{lim}\frac{1}{(1-a-1{)}^3}=\underset{a\to 0}{lim}\frac{1}{(-a{)}^3}=-\mathrm{\infty }$$
のように書きます。

(2) $x$ が正負の無限大で 0 に近づくことは明らかです。
$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0,\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0$$
となります。

(3) (1) と (2) の結果をもとにグラフを描くと次のようになります。