$x^2+y^2=3$ を満たす有理数は存在しません

[問題 NT-26] $x^2+y^2=3$ を満たす有理数は存在しません

(1) $a,\:b$ を整数とします。$a^2+b^2$ が $3$ で割り切れるならば、 $a$ と $b$ はともに $3$ で割り切れることを示してください。

(2) $x^2+y^2=3$ を満たす有理数 $x,\:y$ が存在しないことを証明してください。

(都立大)

問題 NT-26 のヒント

 背理法を用います。(2) は (1) の結果を上手く使えるような形にもっていきます。

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問題 NT-26 の解答

(1) 背理法で示します。つまり $a^2+b^2$ が 3 の倍数であるときに、$a,\:b$ のいずれかが(あるいは両方とも) 3 の倍数ではないと仮定します。 $a$ が 3 の倍数以外の数であることは整数 $m$ を用いて

$a=3m+1$ あるいは $a=3m+2$

と表すことができます。それぞれ平方すると
 
\[\begin{align*}a^2&=9m^2+6m+1=3(3m^2+2m)+1\\[6pt]
a^2&=9m^2+12m+4=3(3m^2+4m+1)+1\end{align*}\]
ですから、いずれにしても 3 で割ると 1 余る数です。そこで改めて
 
\[a^2=3p+1\]
と書くことにします。 $b$ が 3 の倍数でない場合も同じように
 
\[b^2=3q+1\]
と表せます。つまりたとえば $a,\:b$ のうち片方だけが 3 の倍数である場合は平方数同士を加えると「 3 で割って 1 余る数」になります。また両方とも 3 の倍数でない場合、平方数同士を加えると「 3 で割って 2 余る数」になります。どちらにしても $a^2+b^2$ が 3 の倍数であるという仮定に反しているわけですら矛盾しています。つまり

$a^2+b^2$ が 3 で割り切れる ⇒ $a$ と $b$ はともに 3 で割り切れる

という命題が成り立つことになります。

(2) こちらも背理法で示します。
 $x^2+y^2=3$ を満たす有理数 $x,\:y$ が存在すると仮定します。
 互いに素である数 $p,\:q$ を用いて有理数 $x$ を $x=p/q$ とおくと、方程式は
 
\[\left( \frac{p}{q} \right) +y^2=3\]
となります。つまり
 
\[(qy)^2=3q^2-p^2 \tag{1}\]
 この式は $qy$ の 2 乗が整数になることを示しています。 $qy$ は有理数ですから、平方して整数になるのであれば、 $qy$ 自身もまた整数であるはずです。そこで $qy=k$( $k$ は整数)とおくと方程式 (1) は
 
\[p^2+k^2=3q^2 \tag{2}\]
 これで (1) の結果が使えます。 $p^2+k^2$ は 3 の倍数ですから、$p$ と $k$ もまた 3 の倍数になっているということです。つまり $p=3s,\:k=3t$( $s,\:t$ は整数)とおくと方程式 (2) は
 
\[q^2=3(s^2+t^2)\]
となって、$q^2$ が 3 の倍数であることがわかります。つまり $q$ もまた 3 の倍数です。ところが $p$ も 3 の倍数でしたから、これは $p,\:q$ が互いに素であるという仮定に反しています。よって $x^2+y^2=3$ を満たす有理数 $x,\:y$ は存在しません。

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