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【フェルミ推定】1モルのサッカーボールの質量

化学でおなじみの 1 mol = 6.0 × 1023 個という単位。炭素原子が 1 mol 集まれば 12 g の重さになります … そんなこと言われても、炭素原子の大きさをイメージできないので、1 mol がどれくらいの量なのか実感が掴めませんね。そこで原子の代わりにサッカーボールを使って、1モルの量を実感してみましょう。

【フェルミ推定07】1モルのサッカーボールの質量

1 mol のサッカーボールを集めると、どのくらいの質量になりますか? 月の質量 7 × 1022 kg と比較してみてください。
 
【ヒント】何はともあれ、サッカーボールの質量を推測する必要があります。

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【解答】重さというのは、大きさに比べるとなかなか把握しにくいものですね。普段生活に用いている靴、洗面器、箸、お皿、雑誌 … といったものでも、いざ「何グラム?」と聞かれると戸惑ってしまう人が多いはずです。

そこで、コンビニやスーパーなどでグラム表示されているものから推測してみることにします。たとえばパック牛乳 1000 ml であれば 1 kg です。これはちょっと重すぎるような気がしますね。缶ビール (350 ml) であれば重さは 350 g です。これぐらいでしょうかね? 今度はちょっと軽すぎるような気もしますけど まあ、フェルミ推定では桁さえ合っていれば問題ないので、計算しやすいように 400 g と推測しておきましょう。あとは掛け算するだけです。400 g のものを 1 mol 集めると
 \[M=400\times 6\times 10^{23}=2400\times 10^3[\mathrm{g}]\]
1000 で割って単位を kg に変えてみましょう。
 \[M=2.4\times 10^{23}=24\times 10^{22}[\mathrm{kg}]\]
な、なんと! 月の質量の 3 倍以上になりました!

【フェルミ推定の参考数値】サッカーボールの直径と重量
 [5号] 直径:68 ~ 70cm 重量:410 ~ 450g
 [4号] 直径:64 ~ 66cm 重量:350 ~ 390g
 [3号] 直径:58 ~ 60cm 重量:300 ~ 320g

【フェルミ推定の参考数値】日用品の重量
 卵 60 g
 文庫本 150 g
 リンゴ 250 g
 雑誌 600~800g

AIにサッカーボールの質量を概算してもらいました

ChatGPTに、フェルミ推定を使って、サッカーボールの質量を概算してもらいました。
 
[ChatGPT] フェルミ推定は、複雑な問題に対しておおよその答えを求める手法であり、概算や合理的な推測に依存しています。サッカーボールの質量を概算するためには、いくつかの前提条件を設定する必要があります。

1.サッカーボールの直径の概算: 例えば、サッカーボールの直径が約0.22メートル(22センチメートル)であると仮定しましょう。これは一般的なサッカーボールのサイズの中でも平均的な値です。
 
2.サッカーボールの密度の概算: 一般的な物体の密度は約1000 kg/m^3ですが、サッカーボールは軽量な素材でできているため、少し低い値として800 kg/m^3と仮定しましょう。

これらの前提条件に基づいて、サッカーボールの体積(V)と質量(m)の関係を考えることができます。サッカーボールは球体の形状をしていると仮定できるため、球の体積の公式を使用します:
 \[V=\frac{4}{3}\pi r^3\]
ここで、\(r\)は半径です。サッカーボールの直径が0.22メートルなので、半径は0.11メートルとなります。
 \[V=\frac{4}{3}\pi (0.11)^3\]
この体積を用いて、質量(m)は密度(ρ)を用いて次のように計算できます:
 \[m= V\times\rho\]
これで、サッカーボールの質量を概算することができます。計算を実行してみましょう。

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