関数の右側極限と左側極限を計算します

[問題 CL-01] 関数の右側極限と左側極限

 関数 \(f(x)\) を次のように定義します。
\[f(x)=\frac{1}{(x-1)^3}\](1) \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1+0}f(x)\) と \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1-0}f(x)\) を求めてください。

(2) \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)\) と \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)\) を求めてください。

(3) \(f(x)\) のグラフの概形を描いてください。

問題 CL-01 のヒント

 関数の極限値を求める基本的な問題です。
 (1) の x → 1 + 0 は 1 より大きい値をとりながら 1 に近づく極限(右側極限)、
 x → 1 - 0 は 1 より小さい値をとりながら 1 に近づく極限(左側極限)です。

 ≫ [Amazon 数学書籍] 微分方程式(物理的発想の解析学)
 ≫ [Amazon 数学書籍] Excelでやさしく学ぶ微分積分

問題 CL-01 の解答

(1) 分母は3乗の形になっているので、その符号は右側極限では正に、左側極限では負になることに注意します。

\[\lim_{x\rightarrow 1+0}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\rightarrow 1-0}f(x)=-\infty\]
 右側極限は分母が 1 よりほんの少し大きな値、左側極限は分母が 1 よりほんの少し小さな値を代入するという感覚です。もう少し丁寧にするならば、たとえば左側極限は \(x=1-a\) とおいて、
\[\lim_{a\rightarrow 0}f(x)=\lim_{a\rightarrow 0}\frac{1}{(1-a-1)^3}=\lim_{a\rightarrow 0}\frac{1}{(-a)^3}=-\infty\]
のように書きます。

(2) \(x\) が正負の無限大で 0 に近づくことは明らかです。
\[\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0,\quad \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0\]
となります。

(3) (1) と (2) の結果をもとにグラフを描くと次のようになります。

 関数の極限解答図
 ≫ [問題02] 極限の基礎計算 ≫ 数学演習問題

スポンサーリンク
スポンサーリンク
末尾広告
末尾広告

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください