ネイピア数eが無理数であることの証明

ネイピア数の定義と計算方法

ネイピア数（Napier’s number） は次のように定義されます。
 $$\begin{array}{}\text{(1)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n=2.71828\dots \end{array}$$
$a_n=(1+1/n)$ に $n$ の具体的な値を入れると
 
$$\begin{array}{r}{a}_{10}=2.59374\\ a_{100}=2.70481\\ a_{1000}=2.71692\\ a_{10000}=2.71815\\ a_{100000}=2.71827\\ a_{800000}=2.71828\end{array}$$
のように、ネイピア数の近似値を得ることができます。Excel では、EXP() 関数を使ってネイピア数を計算できます。EXP(n) はネイピア数の n 乗を返す関数なので、

とすれば、ネイピア数の 15 桁の近似値 2.71828182845905 が得られます。

級数a_n=(1+1/n)^nが収束することの証明

上に有界な単調増加数列は収束するという定理を用いて級数 $a_n=(1+1/n{)}^n$ が収束することを証明します。まずはこの数列が単調増加数列であることを示します。 2 項展開公式
 $$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$$
によって $a_n=(1+1/n{)}^n$ は
 $$\begin{array}{rl}{a}_n=& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})\frac{1}{n^0}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})\frac{1}{n^1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})\frac{1}{n^2}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3})\frac{1}{n^3}\\ & +\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{1}{n^k}+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})\frac{1}{n^n}\end{array}$$
と展開できます。ここで ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}$ は 2 項係数であり
 $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k!}$$
と表されます。 2 項係数の具体的な表式を入れると
 $$\begin{array}{rl}{a}_n=& 1+n\cdot \frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\frac{1}{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\frac{1}{n^3}\\ & +\cdots +\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}\frac{1}{n^k}+\cdots +\frac{1}{n^n}\\ =& 1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\\ & +\cdots +\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})\\ & +\cdots +\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{n-1}{n})\end{array}$$
となります。この式で $n$ を $n+1$ に置き換えると
 $$a_{n+1}=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n+1})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})+\cdots$$
となり、第 3 項移項は $a_n$ よりも $a_{n+1}$ のほうが値が大きく、$a_{n+1}$ は $a_n$ よりも項数が 1 つ多いので $a_n<a_{n+1}$ が常に成り立っています。よって数列 $\{a_n\}$ は単調増加数列です。次に $\{a_n\}$ が上に有界な数列であることを示します。$a_n$ の 2 項展開式の第 $k$ 項に着目すると
 $$\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})<\frac{1}{k!}<\frac{1}{2^{k-1}}$$
が成り立っています。よって
 $$\begin{array}{rl}{a}_n& <1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}\\ & =1+\frac{1-1/2^n}{1-1/2}=3-\frac{1}{2^{n-1}}<3\end{array}$$
となるので、$\{a_n\}$ は上に有界な数列です。上に有界な単調増加数列は必ず収束するので、ネイピア数 $e$ は収束します。

(1) は実数 $x$ によって
 $$\begin{array}{}\text{(2)}& e=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^n=2.71828\dots \end{array}$$
と定義することができます。

【(2)=(1)の証明】(2) が (1) と一致することを証明します。
 $$a=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^n$$
とおいて、実数 $x$ を $n\le x<n+1$ とします。逆数をとると
 $$\frac{1}{n+1}<\frac{1}{x}\le \frac{1}{n}$$
となります。各辺に 1 を加えて
 $$1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{1}{x}<1+\frac{1}{n}$$
$n\le x<n+1$ より
 $${(1+\frac{1}{n+1})}^n<{(1+\frac{1}{x})}^x<{(1+\frac{1}{n})}^{n+1}$$
ここで $n\to \mathrm{\infty }$ とすると
 $$e\le a\le e$$
となって、$a$ はネイピア数 $e$ に等しいことがわかります。

微分しても形を変えない指数関数 $e^x$ の底 $e$ をネイピア数であると定義するだけで、$e$ を級数の形で表すこともできます。すなわち $x=0$ におけるテイラー級数の式
 $$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}{x}^k+R_{n+1}$$
において $f(x)=e^x$ とおくと、
 $$f^{(k)}(x)=e^x,f^{(k)}(0)=1$$
なので、
 $$e^x=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}{x}^k+R_{n+1}$$
となります。ここでラグランジュ型剰余項は
 $$R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}{x}^{n+1}=\frac{e^c{x}^{n+1}}{(n+1)!},(0<c<x)$$
と表され、$n\to \mathrm{\infty }$ のとき剰余項は 0 に収束します。よってネイピア数を底とする指数関数 $e^x$ は
 $$e^x=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}{x}^k=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$
と級数展開され、ネイピア数は $x=1$ として
 $$e=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots$$
と表されることになります。この級数は収束が早く、第 10 項までとれば $e=2.71828$ という非常に良い近似値が得られます。

ネイピア数が無理数であることの証明

ネイピア数が無理数であることを証明します。ネイピア数 $e$ を級数展開すると
 $$\begin{array}{}\text{(1)}& e=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots \cdots \end{array}$$
ここで $e$ が有理数である、すなわち自然数 $m,n$ を使って
 $$\begin{array}{}\text{(2)}& e=\frac{m}{n}\end{array}$$
と表せると仮定して両辺に $n!$ をかけると、
 $$n!e=(n-1)!m$$
となり、これは明らかに整数です。一方で (1) に $n!$ をかけると
 $$\begin{array}{rl}n!e=& n![1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots \cdots ]\\ & +n![\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\frac{1}{(n+3)!}+\cdots \cdots ]\end{array}$$
のように表されますが、第 1 項は
 $$n!+n!+\frac{n!}{2!}+\frac{n!}{3!}+\cdots \cdots +1$$
となって明らかに整数です。第 2 項を評価すると
 $$\begin{array}{rl}& \frac{n!}{(n+1)!}+\frac{n!}{(n+2)!}+\frac{n!}{(n+3)!}+\cdots \cdots \\ & =\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+\cdots \cdots \\ & \le \frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1{)}^2}+\frac{1}{(n+1{)}^3}+\cdots \cdots =\frac{\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n+1}}=\frac{1}{n}<1\end{array}$$ となり、これは非整数です。つまり (1) は非整数であり、(2) は整数となって矛盾します。よって $e$ は無理数であることが証明されました。