ピタゴラス方程式と既約なピタゴラス数

【NT13】ピタゴラス方程式の既約な解

$(a, b, c) = 1$ およびピタゴラス方程式 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ を満たす自然数 $(a, b, c)$ の組を既約なピタゴラス数とよびます。以下の問いに答えてください。
(1) $a, b$ の片方は奇数で片方は偶数であることを示してください。
(2) $a, b$ のうち少なくとも一方は 3 の倍数であることを示してください。
(3) 既約なピタゴラス数を 2 つ見つけてください。

【ヒント】 $(a, b)$ は $a$ と $b$ の最大公約数を表す記号です。 $(a, b) = 1$ と書けば $a$ と $b$ が互いに素である、つまり $a$ と $b$ の最大公約数が 1 であるという意味です。ある $(a, b, c)$ がピタゴラス方程式を満たすとき、それぞれを倍にした $(2 a, 2 b, 2 c)$ も方程式を満たしますが、そうした組は別の解とは認めないというのが $(a, b, c) = 1$ という条件です。(3) は (1) と (2) をヒントにしながらも、ある程度は試行錯誤で根気よく探し出す必要があります。
　【解答】(1) 自然数の $2$ 乗を $4$ で割ったときの余りはどうなるか考えてみます。偶数 $(= 2 m)$ であれば
$(2 m)^{2} = 4 m^{2}$
となって、 $4$ で割り切れます。奇数 $(= 2 m + 1)$ なら
$(2 m + 1)^{2} = 4 (m^{2} + m) + 1$
なので、 $4$ で割ると $1$ 余ります。つまり平方数は $4$ で割ったときの余りは $0$ か $1$ のいずれかです。これを踏まえて命題を背理法で証明します。

「 $a, b$ の片方は奇数で片方は偶数である」の否定命題は「 $a, b$ は両方とも奇数であるか、両方とも偶数である」となります。仮に $a, b$ が奇数であるなら先ほど調べたように
$z^{2} = 2 p + 1, b^{2} = 2 q + 1$
の形で表せます。これをピタゴラス方程式に代入して整理すると
$2 (p + q) + 2 = c^{2}$
となります。 $c^{2}$ も $4$ で割ると余りは $0$ か $1$ なるはずですが、上式の左辺は $4$ で割ると $2$ が余ってしまいますから明らかに矛盾しています。したがって、 $a, b$ がともに奇数となることはありません。

次に、 $a, b$ が両方とも偶数である場合は $c$ も偶数となり、これは既約な解ではありません。したがって $a, b$ がともに偶数となることもありません。以上より、 $a, b$ の片方は奇数で片方は偶数であることが示されました。（証明終）

(2) $3$ の倍数でない数は $3 m + 1, 3 m + 2$ と表せるので、平方するとそれぞれ
$\begin{array}{r} (3 m + 1)^{2} = 3 (3 m^{2} + 2 m) + 1 \\ (3 m + 2)^{2} = 3 (3 m^{2} + 4 m + 1) + 1 \end{array}$
となります。つまり $3$ の倍数でない数は $3$ で割ると $1$ 余ります。また、 $3$ の倍数 $3 n$ を $2$ 乗すると
$(3 n)^{2} = 9 n^{2}$
なので、 $3$ で割り切れます。つまり全ての自然数は $2$ 乗すると余りは必ず $0$ か $1$ のどちらかになります。さて、「 $a, b$ のうち少なくとも一方は $3$ の倍数である」の否定命題は「 $a, b$ はいずれも $3$ の倍数ではない」となります。そこで $a, b$ は $3$ の倍数でないと仮定して
$a^{2} = 3 p + 1, b^{2} = 3 q + 1$
とおいてピタゴラス方程式に代入すると
$3 (p + q) + 2 = c^{2}$
となります。 $c^{2}$ がどのような数であっても $3$ で割ったときの余りが $0$ か $1$ になるはずですが、左辺は $3$ で割ると $2$ が余るので矛盾しています。したがって、 $a, b$ のうち少なくとも一方は $3$ の倍数であることが証明されました。（証明終）

(3) とりあえず (1) と (2) をヒントにして、
$(a, b) = (2, 3)$
あたりを試してみると、 $c^{2} = 13$ となってこれは不適です。
$(a, b) = (3, 4)$
としてみると $c^{2} = 25$ となるので、 $c$ は自然数です。次は
$(a, b) = (3, 6)$
で試すと、残念ながら不適。
$(a, b) = (5, 12)$
は $c^{2} = 169$ なので $c$ は自然数です。以上より、
$(a, b, c) = (3, 4, 5), (5, 12, 13)$
がピタゴラス方程式を満たすことがわかりました。

【補足】ピタゴラス方程式の一般解は $(u, v) = 1, u > v$ なる整数 $u, v$ を用いて
$a = u^{2} - v^{2}, b = 2 u v, c = u^{2} + v^{2}$
で与えられることが知られています。 $u = 2, v = 1$ とおいて先ほどの解と一致することを確認してみてください。

【NT13】ピタゴラス方程式の既約な解

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