二次方程式の解の公式と判別式

二次方程式の解の公式

実数係数の２次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の解は
 \[x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \tag{1}\]
です。ここに $D$ は
 \[D=b^2-4ac \tag{2}\]
で表され、解の個数は D の符号によって
 \[\begin{align*}D&\gt 0\;\Leftrightarrow\;異なる実数解をもつ\\[6pt]D&=0\;\Leftrightarrow\;重複解（重解）をもつ\\[6pt]D&\lt 0\;\Leftrightarrow\;異なる虚数解をもつ\end{align*}\]
という関係にあります。$D$ によって、解の個数が決まることから、$D$ を判別式 (Discriminant) とよびます。

【解の公式の証明】方程式の左辺を平方完成します。
 \[\begin{align*}ax^2+bx+c=&a\left(x^2+\frac{b}{a}\:x+c\right)\\[6pt]=&a\left (x+\frac{b}{a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}\\[6pt]=&a\left(x+\frac{b}{a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\\[6pt]=&a\left\{\left(x+\frac{b}{a} \right)^2-\left( \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)^2\right\}\\[6pt]=&\left(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right )\left (x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\end{align*}\]
よって \(ax^2+bx+c=0\) の解は
 \[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\]
となります。たとえば、\(x^2-x-1=0\) の判別式は
 \[D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-1)=5\gt 0\]
なので異なる２つの実数解をもち、その解は
 \[x==\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\]
となります。方程式\(3x^2+5x+3=0\) の判別式は
 \[D=25-36=-11\lt 0\]
なので２つの虚数解をもち、その解は
 \[x=\frac{-5\pm\sqrt{11}\:i}{6}\]

解の公式で $b\rightarrow 2b’$ のように変換すると次の公式が導かれます。

たとえば、\(x^2-4x+2=0\) の解は
 \[x=2\pm \sqrt{4-2}=2\pm\sqrt{2}\]
となります。