二次方程式の解の公式と判別式

二次方程式の解の公式

実数係数の２次方程式 $a{x}^2+bx+c=0$ の解は
 $$\begin{array}{}\text{(1)}& x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\end{array}$$
です。ここに $D$ は
 $$\begin{array}{}\text{(2)}& D=b^2-4ac\end{array}$$
で表され、解の個数は D の符号によって
 $$\begin{array}{rl}D& >0\iff \mathrm{異}\mathrm{な}\mathrm{る}\mathrm{実}\mathrm{数}\mathrm{解}\mathrm{を}\mathrm{も}\mathrm{つ}\\ D& =0\iff \mathrm{重}\mathrm{複}\mathrm{解}（\mathrm{重}\mathrm{解}）\mathrm{を}\mathrm{も}\mathrm{つ}\\ D& <0\iff \mathrm{異}\mathrm{な}\mathrm{る}\mathrm{虚}\mathrm{数}\mathrm{解}\mathrm{を}\mathrm{も}\mathrm{つ}\end{array}$$
という関係にあります。$D$ によって、解の個数が決まることから、$D$ を判別式 (Discriminant) とよびます。

【解の公式の証明】方程式の左辺を平方完成します。
 $$\begin{array}{rl}a{x}^2+bx+c=& a(x^2+\frac{b}{a}x+c)\\ =& a{(x+\frac{b}{a})}^2+c-\frac{b^2}{4a}\\ =& a{(x+\frac{b}{a})}^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\\ =& a\{{(x+\frac{b}{a})}^2-{\left(\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)}^2\}\\ =& (x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a})\end{array}$$
よって $a{x}^2+bx+c=0$ の解は
 $$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$
となります。たとえば、$x^2-x-1=0$ の判別式は
 $$D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-1)=5>0$$
なので異なる２つの実数解をもち、その解は
 $$x==\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$$
となります。方程式$3x^2+5x+3=0$ の判別式は
 $$D=25-36=-11<0$$
なので２つの虚数解をもち、その解は
 $$x=\frac{-5\pm \sqrt{11}i}{6}$$

解の公式で $b\to 2b^{\prime }$ のように変換すると次の公式が導かれます。

たとえば、$x^2-4x+2=0$ の解は
 $$x=2\pm \sqrt{4-2}=2\pm \sqrt{2}$$
となります。