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命題の否定が成立しないことを示します

2016.12.14

【AG14】少なくとも１つの実数解をもつことの証明

実係数をもつ３つの方程式
ax2+2bx+c=0(1)bx2+2cx+a=0(2)cx2+2ax+b=0(3)のうち、少なくとも１つは実数解をもつことを証明してください。（広島大一部改）
 
【ヒント】命題の否定が成立しないことを示します。「少なくとも１つは実数解をもつ」の否定命題は？
　【解答】背理法を用います。「３つの方程式のうち少なくとも１つは実数解をもつ」の否定命題は「３つの方程式が全て虚数解をもつ」です。これを真実だと仮定します。それぞれの方程式の判別式を D1/4, D2/4, D3/4 とおくと
 D14=b2−ac<0D24=c2−ab<0D34=a2−bc<0
が全て成立しているはずです。全て加えると
 14(D1+D2+D3)<0
となるはずですが、実際に計算すると
 14(D1+D2+D3)=a2+b2+c2−ab−bc−ca=12{(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2}≥0
となって矛盾しています。したがって方程式 (1), (2), (3) のうち少なくとも１つは実数解をもつことが証明されました。

【AG15】係数に複素数を含む二次方程式

二次方程式
x2−(1+3i)x+k=0が 1+i を解にもつように定数 k の値を定め、もう１つの解を求めてください。
 
【ヒント】解の１つがわかっているので、それを代入すれば良いのですけど、k をどう置くかがポイントです。
　【解答】k は実数とは書いていないので、複素数として
 k=a+bi
とおいて方程式に代入します。
 x2−(1+3i)x+a+bi=0
解の１つ 1+i を代入して整理すると
 a+2+(b−2)i=0
となるので、a=−2,b=2 すなわち k=−2+2i を得ます。よって方程式は
 x2−(1+3i)x−2+2i=0
となり、解の公式によって
 x=12{1+3i±−2i}
となります。ここで (1−i)2=−2i より解は
 x=1+i,2i
となります。

【補足】最後のほうで √ の中に虚数単位が現れたので、慣れていないと処理に困るかもしれません。(1−i)2=−2i という計算式をすぐに思いつかない場合は、1+i という１つの解が予めわかっているので、−2i=D とおいて、
 12{1+3i±D}=1+i
という式から
 D=±(1−i)
を得ることができます。

【AG16】他の解の平方となるように実数kの値を定めます

二次方程式
x2+kx−k=0(k≠0)の１つの解が他の解の平方になるように実数 k の値を定めてください。
 
【ヒント】２つの解を設定したあとに、そのまま方程式に代入したりすると大変面倒なことになります。別の方法を考えてみましょう。　
　【解答】２解を α,α2 とおくと解と係数の関係より
 α+α2=−k,α3=−k
となるので、
 α+α2=α3
とおくことができます。すなわち
 α(α2−α−1)=0
という α についての方程式を解けばよいのですが、k≠0 という条件があるので、α=0 は適しません。よって
 α2−α−1=0
の２解である
 α=1±52
が条件を満たすことになります。よって
 k=−α−α2
によって求めることができますが、α2−α−1=0 の関係を使うことで
 k=−α−α−1=−2α−1=−2±5
と楽に計算することができます。

≫【AG17】二次方程式の二解の比が1：2になるように定数を決めます

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