命題の否定が成立しないことを示します

【AG14】少なくとも１つの実数解をもつことの証明

実係数をもつ３つの方程式
\[\begin{align*}ax^2+2bx+c=0\qquad \qquad (1)\\[6pt]bx^2+2cx+a=0\qquad \qquad (2)\\[6pt]cx^2+2ax+b=0\qquad \qquad(3)\end{align*}\]のうち、少なくとも１つは実数解をもつことを証明してください。（広島大一部改）
 
【ヒント】命題の否定が成立しないことを示します。「少なくとも１つは実数解をもつ」の否定命題は？
　【解答】背理法を用います。「３つの方程式のうち少なくとも１つは実数解をもつ」の否定命題は「３つの方程式が全て虚数解をもつ」です。これを真実だと仮定します。それぞれの方程式の判別式を $D_1/4,\ D_2/4,\ D_3/4$ とおくと
 \[\begin{align*}\frac{D_1}{4}=b^2-ac \lt 0\\[6pt]\frac{D_2}{4}=c^2-ab \lt 0\\[6pt]\frac{D_3}{4}=a^2-bc \lt 0\end{align*}\]
が全て成立しているはずです。全て加えると
 \[\frac{1}{4}\:(D_1+D_2+D_3)\lt 0\]
となるはずですが、実際に計算すると
 \[\begin{align*}\frac{1}{4}(D_1+D_2+D_3)=&\:a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\\[6pt]=&\:\frac{1}{2}\:\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \}\geq 0\end{align*}\]
となって矛盾しています。したがって方程式 (1), (2), (3) のうち少なくとも１つは実数解をもつことが証明されました。

【AG15】係数に複素数を含む二次方程式

二次方程式
\[x^2-(1+3\:i)\:x+k=0\]が $1+i$ を解にもつように定数 $k$ の値を定め、もう１つの解を求めてください。
 
【ヒント】解の１つがわかっているので、それを代入すれば良いのですけど、$k$ をどう置くかがポイントです。
　【解答】\(k\) は実数とは書いていないので、複素数として
 \[k=a+bi\]
とおいて方程式に代入します。
 \[x^2-(1+3i)x+a+bi=0\]
解の１つ \(1+i\) を代入して整理すると
 \[a+2+(b-2)\:i=0\]
となるので、$a=-2,\:b=2$ すなわち $k=-2+2\:i$ を得ます。よって方程式は
 \[x^2-(1+3i)x-2+2\:i=0\]
となり、解の公式によって
 \[x=\frac{1}{2}\:\{1+3\:i\pm\sqrt{-2\:i}\}\]
となります。ここで $(1-i)^2=-2\:i$ より解は
 \[x=1+i,\quad 2\:i\]
となります。

【補足】最後のほうで √ の中に虚数単位が現れたので、慣れていないと処理に困るかもしれません。$(1-i)^2=-2\:i$ という計算式をすぐに思いつかない場合は、$1+i$ という１つの解が予めわかっているので、$\sqrt{-2\:i}=\sqrt{D}$ とおいて、
 \[\frac{1}{2}\:\{ 1+3\:i\pm \sqrt{D}\}=1+i\]
という式から
 \[\sqrt{D}=\pm(1-i)\]
を得ることができます。

【AG16】他の解の平方となるように実数kの値を定めます

二次方程式
\[x^2+kx-k=0\quad (k\neq0)\]の１つの解が他の解の平方になるように実数 $k$ の値を定めてください。
 
【ヒント】２つの解を設定したあとに、そのまま方程式に代入したりすると大変面倒なことになります。別の方法を考えてみましょう。　
　【解答】２解を $\alpha,\:\alpha^2$ とおくと解と係数の関係より
 \[\alpha+\alpha^2=-k,\quad\alpha^3=-k\]
となるので、
 \[\alpha+\alpha^2=\alpha^3\]
とおくことができます。すなわち
 \[\alpha(\alpha^2-\alpha-1)=0\]
という \(\alpha\) についての方程式を解けばよいのですが、$k\neq 0$ という条件があるので、$\alpha=0$ は適しません。よって
 \[\alpha^2-\alpha-1=0\]
の２解である
 \[\alpha=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\]
が条件を満たすことになります。よって
 \[k=-\alpha-\alpha^2\]
によって求めることができますが、$\alpha^2-\alpha-1=0$ の関係を使うことで
 \[k=-\alpha-\alpha-1=-2\alpha-1=-2\pm\sqrt{5}\]
と楽に計算することができます。