ロルの定理と平均値の定理

この記事では、最初にロルの定理を証明し、そこから平均値の定理、コーシーの平均値の定理といった、より汎用性の高い定理を示していきます。

ロルの定理

ロルの定理は、曲線が滑らかで切れ目なくつながっていて、しかも異なる 2 点で同じ値をとるならば、その 2 点の間に $x$ 軸と平行な接線を引くことができると主張しています。

【ロルの定理の証明】ロルの定理を証明します。まず、下の図でイメージを掴んでください。
 

$f(x)=0$ のときは $f^{\prime }(x)=0$ となって定理は成り立ちます。次に $f(x)>0$ となる値がある場合を考えます。$f(x)$ は区間内で連続なので、ある点 $c$ で最大値をとることができるはずです。このとき
 $$f^{\prime }(c)>0,f(a)=f(b)=0$$
なので $c$ は $a,b$ のどちらでもなく、
 $$a<c<b$$
という関係にあります。$f(c)$ は最大値なので、小さな値 $|\mathrm{\Delta }x|$ に対して
 $$f(c+\mathrm{\Delta }x)\le f(c)$$
が成り立ちます。よって $\mathrm{\Delta }x>0$ のとき
 $$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(c+\mathrm{\Delta }x)-f(c)}{\mathrm{\Delta }x}\le 0$$
となります。すなわち
 $$f^{\prime }(c)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}\le 0$$
です。同様に $\mathrm{\Delta }x<0$ のとき $f^{\prime }(c)\ge 0$ となるので、
 $$0\le f^{\prime }(c)\le 0$$
すなわち $f^{\prime }(c)=0$ が成り立ちます。$f(x)<0$ となる値がある場合も同様の議論によって $f^{\prime }(c)=0$ となるので、ロルの定理が成り立つことが証明されました。

平均値の定理

ロルの定理をより一般化した平均値の定理を解説します。

平均値の定理は曲線上の 2 点 $(a,f(a)),(b,f(b))$ を結ぶ線分と平行な接線がひけるような点 $(c,f(c))$ が区間内に存在することを主張しています。
 

【平均値の定理の証明】数学者コーシー (Augustian Louis Cauchy) による巧みな証明法を紹介しましょう。
 $$m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
とおきます。そして次のような関数
 $$F(x)=f(x)-f(a)-m(x-a)$$
をつくってみると $F(a)=0$ であり、また
 $$F(b)=f(b)-f(a)-m(b-a)=0$$
となります（こうなるように $F(x)$ を定義したのです）。つまり
 $$F(a)=F(b)=0$$
を満たし、$F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-m$（微分可能）なので、ロルの定理より
 
$$F^{\prime }(c)=0(a<c<b)$$
となるような実数 $c$ が少なくとも 1 つは存在します。このとき $f^{\prime }(c)=m$ ですから、
 $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$$
が成り立ちます。平均値の定理を端点 $a$ と $b$ の差で表すこともできます。つまり
 $$b=a+h$$
とおくと $a$ と $b$ の間にある点 $c$ は
 $$c=a+\theta h(0<\theta <1)$$
と表すことができるので、平均値の定理を以下のように書くことができます。

大学入試等で平均値の定理が題材になることは少ないですが、この定理は別名存在定理とよばれ、数学を発展させるために大きな貢献をしてきました。「なにかの存在を保証する」というのは、数学ではものすごい威力を発揮するのです（積分で表された平均値の定理はこちらを参照してください）。

コーシーの平均値の定理

平均値の定理をさらに一般化したのがコーシーの平均値の定理です。

$g(x)=x$ とすれば平均値の定理が得られます。
 
【コーシーの平均値の定理の証明】平均値の定理より
 $$g(b)-g(a)=(b-a)g^{\prime }(d)(a<d<b)$$
となる点 $d$ が存在します。$g^{\prime }(d)\ne 0$ なので $g(b)-g(a)\ne 0$ です。
 $$\lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$$
という定数を定義して
 $$F(x)=f(x)+\lambda g(x)$$
という関数をつくります。$F(a)=F(b)$ なのでロルの定理が使えて
 $$F^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)+\lambda g^{\prime }(c)=0$$
を満たす点 $c$ が存在します。よって $\lambda$ は $c$ を用いて
 $$\lambda =-\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}$$
と表せるので
 $$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}$$
が成り立ちます。