Σ記号と色々な数列の和の公式

数学におけるΣ記号の意味と使い方

一般には $S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n$ は次のように簡略化して表します。
 $$S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$$
$\sum$ はギリシャ文字でシグマと読みます。この文字はアルファベットの $S$ に相当し、総和を意味する sum の頭文字です。上の略号は $1$ から $n$ までの自然数を順次 $k$ に入れて足し合わせていくという意味です。たとえば、$a_k=k$ のときは
 $$\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots +n$$
となります。これは等差数列の和なので
 $$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$$
と表せます。$\sum$ 演算では以下の公式が成り立ちます。
 $$\begin{array}{}\text{(1)}& & \sum _{k=1}^n(p{a}_k+q{b}_k)=p\sum _{k=1}^n{a}_k+q\sum _{k=1}^n{b}_k\text{(2)}& & \sum _{k=1}^{n}c=nc\end{array}$$

【公式(1)の証明】
$$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^n(p{a}_k+q{b}_k)=& (p{a}_1+p{a}_2+\cdots +p{a}_n)+(q{b}_1+q_{b}2+\cdots +q{b}_n)\\ =& p(a_1+a_2+\cdots +a_n)+q(b_1+b_2+\cdots +b_n)\\ =& p\sum _{k=1}^n{a}_k+q\sum _{k=1}^n{b}_k\end{array}$$
【公式(2)の証明】
$a_1=a_2=a_3=\cdots =a_n=c$ なので、初項から第 $n$ 項までの和をとると
 $$\sum _{k=1}^n{a}_k=c+c+c+\cdots c=nc$$
となります。
 
$\sum k$ や $\sum k^2$ などは教科書にも載っている基本公式ですが、新しい公式と一緒にまとめて載せておきます。
$$\begin{array}{}\text{(3)}& & \sum _{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)\text{(4)}& & \sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)\text{(5)}& & \sum _{k=1}^n{k}^3={\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]}^2\text{(6)}& & \sum _{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\text{(7)}& & \sum _{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)=\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)\end{array}$$
公式 (3) は等差数列の和の公式です。

【(4)の証明】$S=1^2+2^2+\cdots +n^2$ とおき、恒等式
 $$(k+1{)}^3-k^3=3k^2+3k+1$$
に $k=1$ から $k=n$ まで順に値を入れていきます。
 $$\begin{array}{rl}& 2^3-1^3=3\cdot 1^2+3\cdot 1+1\\ & 3^3-2^3=3\cdot 2^2+3\cdot 2+1\\ & 4^3-1^3=3\cdot 3^2+3\cdot 3+1\\ & \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ & n^3-(n-1{)}^3=3(n-1{)}^2+3(n-1)+1\\ & (n+1{)}^3-n^3=3n^2+3n+1\end{array}$$
辺々をすべて足し合わせると、左辺は隣り合う項が相殺されて 2 項だけが残ります。
 $$(n+1{)}^3-1^3=3(1^2+2^2+\cdots +n^2)+3(1+2+\cdots +n)+n$$
右辺の第 1 項に $S=1^2+2^2+\cdots +n^2$ を代入し、第 2 項に等差数列の公式を適用すると
 $$(n+1{)}^3-1^3=3S+\frac{3}{2}n(n+1)+n$$
この式を整理して
 $$S=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$
となります。

【(5)の証明】公式 (5) には技巧的な証明法があります。
 $$(k+1{)}^3={\left\{\frac{k(k+1)}{2}\right\}}^2-{\left\{\frac{(k-1)k}{2}\right\}}^2$$
と変形します。和をとると $2$ 項ずつ相殺されていきます。
 $$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^n{k}^3& =[{\left\{\frac{1\cdot 2}{2}\right\}}^2-{\left\{\frac{0\cdot 1}{2}\right\}}^2]\\ & +[{\left\{\frac{2\cdot 3}{2}\right\}}^2-{\left\{\frac{1\cdot 2}{2}\right\}}^2]\\ & +[{\left\{\frac{3\cdot 4}{2}\right\}}^2-{\left\{\frac{2\cdot 3}{2}\right\}}^2]\\ & +\cdots \cdots \cdots \cdots \\ & +[{\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}}^2-{\left\{\frac{(n-1)n}{2}\right\}}^2]\\ & ={\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}}^2-{\left\{\frac{0\cdot 1}{2}\right\}}^2={\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}}^2\end{array}$$
【(6)の証明】公式 (6) は公式 (3) と (4) から得られます：
 $$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^{n}k(k+1)& =\sum _{k=1}^n{k}^2+\sum _{k=1}^{n}k\\ & =\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)+\frac{1}{2}n(n+1)\\ & =\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\end{array}$$
公式 (6) は次のような二重和の計算に応用できます：
 $$\sum _{m=1}^n\left(\sum _{k=1}^{m}k\right)=\sum _{m=1}^n[\frac{1}{2}m(m+1)]=\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)$$
番号がずれているときは次のように計算します：
 $$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^n(k+2)(k+3)& =3\cdot 4+4\cdot 5+\cdots \cdots +(n+2)(n+3)\\ & =\sum _{k=1}^{n+2}k(k+1)-1\cdot 2-2\cdot 3\\ & =\frac{1}{3}(n+2)(n+3)(n+4)-8\\ & =\frac{1}{3}n(n^2+9n+26)\end{array}$$　
　
【(7)の証明】公式 (7) は公式 (3), (4), (5) によって証明されます：
 $$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)& =\sum _{k=1}^n(k^3+3k+2)\\ & =\frac{1}{4}{n}^2(n+1{)}^2+\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)+n(n+1)\\ & =\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)\end{array}$$
公式 (7) は次のような二重和の計算に応用できます：
 $$\begin{array}{rl}\sum _{m=1}^n\left(\sum _{k=1}^n{k}^2\right)& =\sum _{m=1}^n[\frac{1}{6}m(m+1)(m+2)]\\ & =\frac{1}{24}n(n+1)(n+2)(n+3)\end{array}$$