max(a,b),min(a,b)：小さくない数と大きくない数

小さくない数と大きくない数

整数 $a,b$ があって、小さくないほうの数を $\max (a,b)$ , 大きくないほうの数 を $\min (a,b)$ と表すことがあります。たとえば
$$\max (5,9)=9,\min (17,8)=8$$
となります。この記号は大きい数、小さい数を表すものではないことに注意してください。$a=b$ という場合があるからです。つまり
$$\max (a,a)=a,\min (a,a)=a$$
となります。$\max (a,b),\max (a,b)$ については他にも次のような公式が成り立ちます。
$$\begin{array}{rl}& (1)\max (a+c,b+c)=\max (a,b)+c\\ & (2)\min (a+c,b+c)=\min (a,b)+c\\ & (3)\max (-a,-b)=-\min (a,b)\\ & (4)\min (-a,-b)=-\max (a,b)\end{array}$$
【証明】いずれの式も $a$ と $b$ について対称なので、$a\ge b$ として証明します。

(1) $a+c\ge b+c$ なので
$$\begin{array}{rl}& \max (a+c,b+c)=a+c\\ & \max (a,b)+c=a+c\end{array}$$

(2) $a+c\ge b+c$ なので
$$\begin{array}{rl}& \min (a+c,b+c)=b+c\\ & \max (a,b)+c=b+c\end{array}$$

(3) $a\ge b$ すなわち $-a\le -b$ なので
$$\begin{array}{rl}& \max (-a,-b)=-b\\ & -\min (a,b)=-b\end{array}$$

(4) $a\ge b$ すなわち $-a\le -b$ なので
$$\begin{array}{rl}& \min (-a,-b)=-a\\ & -\max (a,b)=-a\end{array}$$
（証明終）

どの公式も具体的な値を入れてみれば、ごく当たり前のことです。たとえば
$$\begin{array}{rl}& \max (10,15)=\max (0,5)+10=5+10=15\\ & \max (-4,-8)=-4=-\min (4,8)\end{array}$$
のようになります。