素数の約数は「 1 」と「その数自身」の 2 つだけです



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≫ 挑戦問題 PS-19 が入りました。

 1 以外の自然数は 1 とその数自身の最低 2 つの約数を持ちます。
 この自然数を約数の個数によって分類することができます。
 

素数

 約数を 2 つしかもたない

2, 3, 5, 7, 11, 13, ......

というような数のことを 素数 とよびます。つまり素数は 1 とその数自身以外で割り切れません。 2 以外の素数は全て奇数です。なぜなら偶数は 1 とその数自身以外に必ず約数 2 を持つからです。たとえば

8 = 2 × 4, 12 = 2 × 6

ですね。 2 だけは例外で、

2 = 1 × 2

ですから、その数自身が 2 であるので、唯一の偶素数ということになります。ある数が素数であるかを判定するのは現代でも難問です。 5 や 13 のように比較的小さな数であれば、素数であることがひと目でわかるのですが、

524287

が素数であることを判定するには色々な定理を駆使する必要があります。現代ではコンピューターによる数値計算も使って大きな数の素数を見つけています。
 

合成数

 素数以外の数のことを 合成数 とよびます。

4, 6, 8, 9, 10, 12, ......

のような数は合成数です。合成数は最低でも 3 つの約数をもちます。 1 とその数自身の他に最低でも 1 つということです。たとえば 9 は

9 = 1 × 9, 9 = 3 × 3

のように分解することができるので、1 と 9 の他に 3 という約数をもちます。
 

問題 次の数が素数か合成数か判定してください

(1) 23  (2) 40  (3) 71

解答

(1) このぐらいの小さな数であれば、九九の表に載っていたかどうかで判断できます。 23 という数を九九で見たことはないはずです。つまり 23 は 1 と 23 以外のどんな数でも割り切れません。よって素数です。

(2) 40 は偶数ですから素数であるはずがありません。合成数です。

(3) 71 が 8 × n や 9 × n のように分解できるのであれば、九九の表に載っているはずですが、そんな数は見たことはありません。となると、たとえば 66 が 3 × 22 と表されるように、

[1 桁の数] × [2 桁の数]

のような形で表される可能性はあります。そこで 3, 5, 7 あたりで割れるかどうかを考えますが、そのいずれでも割り切れません。よって 71 は素数です。

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