1は素数ではない理由

1が素数ではない理由

 素数の定義として、以下の言い回しがよく用いられますね。

 1 より大きな自然数で、
 1 とその数自身以外に約数をもたない数を素数とよぶ。

 時々「 1 より大きな自然数で」という部分が抜けている定義文を見かけたりしますが、勝手に省いてはいけません。1は素数ではない ので、しっかりと明示しておく必要があります。文章の最後に「ただし 1 を除く」のように補足しても大丈夫です。

 いずれにしても、素数は次のように定義したほうが簡潔です。

 約数を 2 つしかもたない自然数を素数と定義する。

 たとえば、5 の約数は 1 と 5 の 2 個なので素数です。しかし、1 は 1 以外に約数をもたないので、素数ではないことになります。定義にしたがって素数を並べると以下のようになります。

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

 ところで、なぜ 1 は素数に含めない ように定義されているのでしょうか? その理由は「素因数分解の一意性」にあります。ちょっと堅苦しくて難しい表現ですね。「一意」であるとは「1種類に限る」という意味です。つまり「素因数分解は1つの表し方しかできない」ように素数を定義したいわけです。

 素因数分解とは自然数を素数の積に分解することです。
 たとえば 30 という数は

   30 = 2 × 3 × 5

のように 3 個の素数の積で表せます。他の表し方はできません(ただし掛け算の順序は問題にしません)。ところが、1 を素数に含めると、

   30 = 1 × 2 × 3 × 5
   30 = 1 × 1 × 2 × 3 × 5
   30 = 1 × 1 × 1 × 2 × 3 × 5

のように何通りもの表し方ができてしまうので、これはちょっと困るわけです。見た目が美しくないというだけでなく、「素因数分解の一意性」を使って定理を証明したりすることもあるので、理論構成上も 1 が素数であると具合が悪いです。というわけで、1 は素数に含めないほうがよいのです。

偶素数と奇素数

 2 以外の素数は全て奇数です。なぜなら偶数は 1 とその数自身以外に必ず約数 2 を持つからです。たとえば

8 = 2 × 4, 12 = 2 × 6

ですね。 2 だけは例外で、

2 = 1 × 2

ですから、その数自身が 2 であるので、唯一の偶素数ということになります。ある数が素数であるかを判定するのは現代でも難問です。 5 や 13 のように比較的小さな数であれば、素数であることがひと目でわかるのですが、

524287

が素数であることを判定するには色々な定理を駆使する必要があります。現代ではコンピューターによる数値計算も使って大きな数の素数を見つけています。
 
 1 と素数以外の数のことを 合成数 とよびます。

4, 6, 8, 9, 10, 12, ......

のような数は合成数です。合成数は最低でも 3 つの約数をもちます。 1 とその数自身の他に最低でも 1 つということです。たとえば 9 は

9 = 1 × 9, 9 = 3 × 3

のように分解することができるので、1 と 9 の他に 3 という約数をもちます。

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