テイラー展開とテイラー級数

テイラー展開

関数 $y=f(x)$ のマクローリン展開
 $$f(x)\simeq f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+R_{n+1}$$
の右辺の $x$ を $x-a$ , 0 を $a$ で置き換えると点 $a$ の近くにおける近似式となります。
 $$\begin{array}{rl}f(x)\simeq & f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots \\ \text{(A)}& & +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+R_{n+1}\end{array}$$
この近似式を テイラー展開 (Taylor expansion) といいます。剰余項は
 　$$\begin{array}{}\text{(B)}& R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(a+\theta (x-a))}{(n+1)!}{x}^{n+1}(0<\theta <1)\end{array}$$
で与えられます。たとえば、$f(x)=e^x$ を $x=1$ の近くでテイラー展開すると
 $$\begin{array}{r}f(x)=e+e(x-1)+\frac{e}{2}(x-1{)}^2+\cdots \\ +\frac{e}{n!}(x-1{)}^n+R_{n+1}\end{array}$$
となります。剰余項は
 $$R_{n+1}=\frac{e^{1+\theta (x-1)}}{(n+1)!}{x}^{n+1}(0<\theta <1)$$
となります。

テイラー級数

テイラー展開で項数を無限にとったときに剰余項が 0 に収束するならば、関数 $y=f(x)$ は無限級数の形で表すことができます。
 $$\begin{array}{rl}f(x)=& f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots \\ \text{(C)}& & +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+\cdots \end{array}$$
このような級数をテイラー級数（Taylor series）とよびます。たとえば上の公式を使って $f(x)=\sin x$ の $x=\pi /2$ 付近におけるテイラー級数を求めると
 $$\sin x=x-\frac{\pi }{2}-\frac{(x-\pi /2{)}^3}{3!}+\frac{(x-\pi /2{)}^5}{5!}+\cdots$$
となります。