[VB-01] トリボナッチ数列 (Tribonacci Sequence)
次のように、ある項が前の $3$ 項の和で定義される数列
\[\begin{align*}&T_0=0,\quad T_1=0,\quad T_2=1\\[6pt]
&T_{n+3}=T_{n+2}+T_{n+1}+T_{n}\quad (n\geq 0)\end{align*}\]
を トリボナッチ数列 (Tribonacci Sequence) とよびます。この数列の初項 $T_0$ から $15$ 番目の項 $T_{14}$ までを表示させる Subプロシージャ (Subroutine) を記述してください。
VB-01 のヒント（配列を使ってみましょう）
数列を扱うコードは配列と相性がいいです。
問題文では $T_n$ の初項を $T_0$ としているので、配列の下限値を設定する Option Base は 0 のままがよいでしょう（デフォルトで 0 になっているので、宣言セクションには何も書く必要はありません）。
本問に限りませんが、実行結果は MsgBox で表示するよりも Debug.Print (Debugオブジェクトの Printメソッド) を使った方が便利です（イミディエイトウィンドウで実行結果を確認しながらコードを修正できます）。
VB-01 の解答 (15 要素の配列を用意します)
次のような手順で処理を実行します。
トリボナッチ数列の各項を入れるために、Dim ステートメントで 15 個の要素からなる配列変数を宣言します。
t(0), t(1), t(2) には数列の初期値 $T_0$, $T_1$, $T_2$ の値を入れます。
フィボナッチ数列の漸化式
\[T_{n+3}=T_{n+2}+T_{n+1}+T_{n}\quad (n\geq 0)\]を配列を使って
と表し、変数 k を 3 から 14 まで動かしながら、配列に値を代入していきます。解答コードは次のようになります。
Sub Tribonacci()
'ループ処理に用いる変数を長整数型で宣言
Dim k As Long
'15 個の要素からなる配列を長整数型で宣言
Dim t(14) As Long
'初期値の代入
t(0) = 0
t(1) = 0
t(2) = 1
't(3) ～ t(14) の計算
For k = 3 To 14
t(k) = t(k - 1) + t(k - 2) + t(k - 3)
Next k
't(0) ～ t(14) の表示
For k = 0 To 14
Debug.Print "T(" & k & ") = " & t(k)
Next k
End Sub
このマクロを実行すると、次のように表示されます。
T(1) = 0
T(2) = 1
T(3) = 1
T(4) = 2
T(5) = 4
T(6) = 7
T(7) = 13
T(8) = 24
T(9) = 44
T(10) = 81
T(11) = 149
T(12) = 274
T(13) = 504
T(14) = 927
k ≥ 3 では T(k) が前 3 項の和になっていることを確認しておいてください。
たとえば、T(6) = 7, T(7) = 13, T(8) = 24 なので、
となっています。
[VB-02] バクテリアの増殖
1 時間ごとに分裂して個数が 2 倍になるバクテリアがあります。このバクテリアが最初 (時刻 t = 0) に 1 個存在したとして、1 億個を超えるときの時間 t と、そのときのバクテリアの個数 n を出力するコードを書いてください。
VB-02 のヒント
・ある数を超えるまで という問題に適したループ処理の方法があります。
・個数は 2t を計算させるのではなく、再帰 という方法で処理してみましょう。
[内容：大腸菌、ビフィズス菌、酵母など、身近にいるけれど、顕微鏡を使わないと見ることのできない小さな細菌たち (bacteria) の生態と、人間の生活に与える影響について幅広く解説した一冊。]
[内容：VRE (バンコマイシン耐性腸球菌) の発生で抗生物質の効かない細菌に対抗するためにビフィズス菌や乳酸菌が利用されています。小さな世界でおこる細菌同士の攻防の様子など、バクテリアについての最新情報をビジュアル付きで伝える一冊。]
VB-02 の解答 (Do Until ... Loop を使います)
時間とバクテリアの個数をそれぞれ t, n で表し、初期値は 0, 1 とします。
Do Until ... Loop ステートメントを使って、n が 108 を超えるまで、
という処理を繰り返します（あるいは Do While ... Loop を使います）。
Sub Bacteria()
Dim n As Long
Dim t As Long
'個数の初期値
n = 1
'時刻の初期値
t = 0
Do Until n > 10 ^ 8
'時間に 1 を加える
t = t + 1
'個体数を 2 倍にする
n = n * 2
Loop
Debug.Print "t = " & t
Debug.Print "n = " & n
End Sub
このマクロを実行すると、
n = 134217728
という結果が表示されます。すなわち、バクテリアは 27 時間後に 134,217,728 個に増殖します。
[VB-03] 11 もしくは 19 で割り切れる数
100 以下の自然数 のうち、11 もしくは 19 で割り切れる数 を列挙して、それらの数字の合計値を表示するプログラムを書いてください。
VB-03 のヒント（ループの中に条件分枝）
ループ処理の中に条件分枝を入れる典型的なアルゴリズムです。If文には「11 で割り切れる」または「19 で割り切れる」という条件式を記述します。
VB-03 の解答
[1] 判定する数を k, 総和を s とします。
[2] それぞれの初期値は k = 1, s = 0 に設定しておきます。
[3] k が条件を満たす場合は、その値を表示して s に k を加えます。
条件を満たさなければ何もしません。
[4] k に 1 を加えます。
[5] [3] と [4] を繰り返し、k が 101 に達したらループを止めます。
[6] 総和 s の値を表示します。
VB-03 の解答コード
Sub Divisible()
Dim k As Long, s As Long
' k（判定する数）の初期値
k = 1
' s (総和) の初期値
s = 0
' k が 101 に達するまでループ
Do While k < 101
' 「11 で割り切れる」または「19 で割り切れる」場合
If (k Mod 11 = 0) Or (k Mod 19 = 0) Then
' 条件を満たす数を表示
Debug.Print k;
s = s + k
End If
k = k + 1
Loop
' 条件を満たす数の総和を表示
Debug.Print "S = " & s
End Sub
マクロを実行すると、
S = 780
という結果が表示されます。Debug.Print で k の値を表示させるところでセミコロン「 ; 」を添えていますが、これは数字を横並びに表示させるオプションです。細かいテクニックですが、覚えておくと結構便利です。
VB-04 三角数を判定するプログラム
下図のように正三角形の形に点を並べたときに、そこに並ぶ点の総数を 三角数 (triangular number) とよびます。
$n$ 番目の三角数を $T(n)$ とすると、
\[\begin{align*}&T(1) = 1\\[6pt]
&T(2) = 1 + 2 = 3\\[6pt]
&T(3) = 1 + 2 + 3 = 6\\[6pt]
&T(4) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\\[6pt]
&\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\[6pt]
&T(n)=\frac{n(n+1)}{2}\end{align*}\]
と表すことができます。
(1) 任意の整数を引数に渡して、それが三角数であれば True、そうでなければ False を返す Functionプロシージャ（ユーザー定義関数）を作ってください。関数の名前は Triangular とします。
(2) Triangular関数を使って、785631 が三角数であるかどうかを判定してください。
VB-04 のヒント（判定式を見つけます）
コードを書く前に 三角数であることを判定する方法 を見つける必要があります（これは純粋に数学の問題です）。
VB-04 の解答
(1) 与えられた自然数 $x$ が三角数であるとき、
\[x=\cfrac{n(n+1)}{2}\]
となります。$n$ について整理すると
\[n^2+n-2x=0\]
という $n$ の 2 次方程式が得られます。解の公式を使ってこの方程式を解くと
\[n=\frac{-1+\sqrt{1+8x}}{2}\]
となります (2 解のうち正の値をもつ解だけが意味をもちます)。$n$ が自然数ならば $x$ は三角数 $T(n)$ です。$n$ が自然数でなければ $x$ は三角数ではありません。すなわち
\[d=\frac{-1+\sqrt{1+8x)}}{2}\]
が $x$ が三角数であるか否かの判定式となります。
VB-04 の解答コード
Function Triangular(x As Long) As Boolean
Dim d As Double
'三角数の判定式
d = (-1 + Sqr(1 + 8 * x)) / 2
'd が整数かつ 0 でない場合
If d = Int(d) And d <> 0 Then
Triangular = True
Else
Triangular = False
End If
End Function
Triangular関数の引数には整数型を渡すようにします。関数の戻り値は何も書かなければ Variant になるので、それでも構いませんが、解答例では真偽値を返す関数であることを明示するために Boolean型にしてあります。判定式 d が整数であることは
が成り立つことと同値です (Int()は数値の整数部を取得する関数です)。d が 0 のときも (n = 0 となるので) 条件を満たさないことに注意してください。
(2) ワークシートのセルに
と入力するか、次のマクロ
Debug.Print Triangular(785631)
End Sub
を実行すると True が返るので、785631 は 三角数 です。
[VB-05] 円柱の表面積と体積を返す関数
(1) 底面半径 r と高さ h を渡すと 円柱の表面積と体積 を返す Functionプロシージャ（ユーザー定義関数）を作ってください。関数名は Cylinder とします。
(2) Cylinder関数を使って、底面の半径が 15, 高さが 80 の円柱の表面積と体積を求めてください。
VB-05 のヒント（ユーザー定義型変数を定義します）
・底面半径 $r$, 高さ $h$ の円柱の表面積 $S$ と体積 $V$ は次式で与えられます。
\[\begin{align*}&S=2\pi(r^2+rh)\\[6pt]
&V=\pi r^2 h\end{align*}\]
・円周率の値が必要です。定数 3.141592654 ... を定義してもいいですし、他にも 逆正接関数を使った方法 があります。
・Cylinder関数は 2 つの値を返さなくてはなりません。複数のデータをまとめて扱うときにはユーザー定義型変数（構造体）を用います。構造体については Excel VBA 表計算とプログラミング教室 というサイトに詳しい説明があるので参照してください。
VB-05 の解答
(1) コードの概要は以下のようになります。
[1] Cylinder関数は表面積と体積の 2 種類の値を返すので、宣言セクションで Type ステートメントを使ってユーザー定義型変数を宣言しておきます。解答コードでは、Solid 型という名前で宣言し、表面積と体積を格納する変数はそれぞれ sarea, volume という名前にしています。
[2] Cylinder関数の戻り値を Solid 型にします。
[3] 円周率を定義します。
解答コードでは 4 * Atn(1) で定義しています。
[4] Cylinder関数の sarea変数に表面積を入れるようにします。
[5] Cylinder関数の volume変数に体積を入れるようにします。
VB-05 の解答コード
Type Solid
'表面積を格納する変数
sarea As Double
'体積を格納する変数
volume As Double
End Type
'円柱の表面積と体積を計算する Functionマクロ
Function Cylinder(r As Double, h As Double) As Solid
Dim pi As Double
'円周率の定義
pi = 4 * Atn(1)
'表面積の計算
Cylinder.sarea = 2 * pi * (r ^ 2 + r * h)
'体積の計算
Cylinder.volume = pi * r ^ 2 * h
End Function
(2) 次のようなサブルーチンを作って関数を呼び出します。
Debug.Print "S = " & Cylinder(15, 80).sarea
Debug.Print "V = " & Cylinder(15, 80).volume
End Sub
このマクロを実行すると
V = 56548.6677646163
という結果がイミディエイトウィンドウに表示されます。
[VB-06] 関数の最大値の判定
(1) 関数 f(n) = an2 + bn + c (a, b, c は実数) において、n が整数値 －s, ..., 0, 1, 2, ... s をとるとき、f(n) を最大にする n と、そのときの f(n) の値を返す Functionプロシージャ（ユーザー定義関数）を作成してください。この関数の名前は NQuad とし、a, b, c, s は引数で指定するものとします。
(2) f(n) = －n2 + 15n + 6 において、n が整数値 －10, ..., 0, 1, 2, ... 10 をとるとき、f(n) を最大にする n と、そのときの f(n) の値を求めてください。
VB-06 のヒント（異なる型の変数をセットにします）
NQuad関数は 2 つの値を返さなくてはなりませんし、f(n) を最大にする n は Long あるいは Integer, 最大値のほうは Double で宣言する必要があります。このように異なる型の複数のデータをまとめて扱うときにはユーザー定義型変数（構造体）を用います。構造体については Excel VBA 表計算とプログラミング学習サイト に詳しい説明があるので参照してください。
VB-06 の解答
(1) 宣言セクションで Typeステートメントを使って、f(n) が最大となる変数を入れる nmax を Long型で、最大値を入れる変数 fmax を Double型で宣言しておきます。NQuad関数は次のようなアルゴリズムで作成します。
[1] n = 0 の 1 点だけを考えると、最大値をとる n は nm = 0 であり、最大値は fm = f(0) = c となります。
[2] k = －s とします。f(－s) が f(0) より大きければ nm を －s に、fm を f(－s) で置き換えます。そうでなければ nm, fm はそのまま据え置きます。k に 1 を加えます。
[3] k = －s とします。f(－s + 1) が f(－s) より大きければ nm を －s + 1 に、fm を f(－s + 1) で置き換えます。そうでなければ nm, fm はそのまま据え置きます。k に 1 を加えます。
[4] [2] と [3] を k = s になるまで繰り返します。
[5] NQuad.nmax に nm を、NQuad.fmax に fm を入れます。
VB-06 の解答コード
Type Maxdata
nmax As Long
fmax As Double
End Type
'f(n) = an2 + bn + c の最大値をとる n と、最大値 f(n) を求める関数
Function NQuad(a As Double, b As Double, c As Double, s As Long) As Maxdata
Dim k As Long
Dim nm As Long
Dim fm As Double
Dim func As Double
'f(n) が最大となる n の初期値
nm = 0
'最大値 f(m) の初期値
fm = c
For k = -s To s
func = a * k ^ 2 + b * k + c
'func が fm より大きければ
If func > fm Then
'f(n) が最大値となる n を置き換える
nm = k
'最大値 f(m) を置き換える
fm = func
End If
Next k
NQuad.nmax = nm
NQuad.fmax = fm
End Function
(2) NQuad関数の引数に、a = －1, b = 15, c = 6, s = 10 を入れて呼び出します。
Debug.Print "nmax = " & NQuad(-1, 15, 6, 10).nmax
Debug.Print "f(nmax) = " & NQuad(-1, 15, 6, 10).fmax
End Sub
このマクロを実行すると、
f(nmax) = 62
という結果が表示されます。
[VB-07] 0 から 9 がランダムに並ぶ数列
$a_0$ と $a_1$ は $0$ から $9$ のランダムな数をとるものとし、$a_3$ 以降は次のような規則で項を作るものとします。
・前の $2$ 項を足し合わせて $9$ を超えなければ、足した数字を新しい項とします。
・前の $2$ 項を足し合わせて $9$ を超えたときは、足した数字の一の位を新しい項とします。
このような規則で作られる数列を初項から $10$ 項並べるプロシージャをつくってください。
VB-07 のヒント (Rnd関数を使います)
・0 ～ 1 の乱数は Rnd関数で得られますが、この関数を上手く利用して 0 ～ 9 の整数の乱数をつくります。
・一の位の数字を取得する方法を考えましょう。
VB-07 の解答
[1] 10 個の要素をもつ配列 a(9) を宣言します
[2] Randomizeステートメント で乱数ジェネレータを初期化します
[3] Rndは 0 以上 1 未満の乱数を生成するジェネレータです。
a, b を整数 (a < b) とするとき、a ～ b の一様乱数を生成する場合は
と記述します。a(0) と a(1) には 0 ～ 9 の乱数を入れるので、a = 0, b = 9 として
a(1) = Int(10 * Rnd)
と記述します。
[4] a(1) を a(2) を加えて 9 を超えない場合は、その値を a(3) とします。
9 を超える場合は a(1) + a(2) を 10 で割った余り を a(3) とします。
[5] [4] と同じようにして、a(4), a(5), ...... a(9) をつくります。
VB-07 の解答コード
Sub RandomSequence()
Dim k As Long
'10個の要素をもつ配列を定義
Dim a(9) As Long
'乱数ジェネレータの初期化
Randomize
'1 ～ 9 の整数乱数
a(0) = Int(10 * Rnd)
a(1) = Int(10 * Rnd)
'a(2) ～ a(9) を生成
For k = 2 To 9
a(k) = a(k - 1) + a(k - 2)
'a(k) が 10 以上の場合
If a(k) > 9 Then
'a(k) を 10 で割った余り
a(k) = a(k) Mod 10
End If
Next k
'a(k) を並べて表示
For k = 0 To 9
Debug.Print a(k);
Next k
End Sub
RandomSequenceマクロを実行すると、
のような結果が表示されます（実行するたびに異なる数列が表示されます）。
[VB-08] 正方形状に 1 ～ n の数字を並べます
ユーザーが任意の数字 n を入力すると、ワークシートに 1 ～ n2 の数字が正方形状に並ぶようなマクロをつくってください。最初の数字 (1) はセル A1 に入るものとします。たとえば、n = 5 の場合は次のように数字が並びます。
VB-08 のヒント
・ユーザーが n を入力できるようにします。
・ループでセルを処理するときは Cellsプロパティを使います。
・Cells(y, x) は y 行 x 列のセルを意味します。
・2 つの変数を使って二重ループさせます。
VB-08 の解答
Cells(k, j) は k 行 j 列のセルを取得します。下図のように、n = 5 のとき、A 列には初項 1, 公差 5 の等差数列が並ぶので、Cells(k, 1) に入る数字は
と表せます。k 行には初項 5 k - 4, 公差 1 の数列が並ぶので、Cells(k, j) には、
という数字が入ることになります。
一般の n について考えると、A 列には初項 1, 公差 n の等差数列が並ぶので、Cells(k, 1) は
と表せます。k 行には初項 n (k - 1) + 1, 公差 1 の数列が並ぶので、Cells(k, j) は、
と表せます。
VB-08 の解答コード
Sub FillSquare()
Dim k As Long, j As Long, n As Long
'ユーザーが n を入力
n = InputBox("nを入力")
For k = 1 To n
For j = 1 To n
Cells(k, j) = n * (k - 1) + j
Next j
Next k
End Sub
n = 10 で実行すると下図のように 100 個の数字が並びます。
