xsin(1/x) の極限値

【CL05】xsin(1/x) の極限値

　次の極限値を求めてください。
　
\[\displaystyle (1)\;\lim_{x\rightarrow \infty}x\sin \frac{1}{x} \qquad (2)\;\lim_{x\rightarrow 0}x\sin \frac{1}{x}\]
【ヒント】xsin(1/x) の極限値 を求める問題です。有名な問題ですので、もしかすると教科書にも載っていたりするかもしれません。三角関数に関する極限公式は必須です。(2) は「○○○○○ の原理」に持ち込む必要があります。
　

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【解答】(1) $1/x=t$ とおくと、$x\rightarrow 0$ のとき $t \rightarrow 0$ となるので、最後に $\sin{x}/x$ についての極限公式を使うと
　
\[\lim_{x\rightarrow \infty}x\sin \frac{1}{x}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sin t}{t}=1\]
となります。

(2) 三角関数の基本性質として、任意の実数 $x$ に対して
　
\[0 \leq \left| \,\sin \frac{1}{x} \right| \leq 1\]
が成り立ちます。両辺に $|x|$ をかけると、
　
\[0 \leq \left| \,x\sin \frac{1}{x} \right| \leq |x|\]
が成り立ちます。はさみ打ちの原理によって
　
\[0 \leq \lim_{x\rightarrow 0} \left|\, x\sin \frac{1}{x} \right| \leq \lim_{x\rightarrow 0}|x|=0\]
となるので、
　
\[\lim_{x\rightarrow 0}x\sin \frac{1}{x}=0\]
となります。