当サイトではアフィリエイトプログラムを利用して商品を紹介しています。

xsin(1/x)の極限値

【CL05】xsin(1/x)の極限値

次の極限値を求めてください。
 \[\displaystyle(1)\;\lim_{x\rightarrow\infty}x\sin\frac{1}{x}\qquad (2)\;\lim_{x\rightarrow 0}x\sin\frac{1}{x}\]
【ヒント】xsin(1/x)の極限値を求める問題です。有名な問題なので、もしかすると教科書にも載っていたりするかもしれません。三角関数に関する極限公式は必須です。(2) は「○○○○○の原理」に持ち込む必要があります。

鉄緑会 東大数学問題集 資料・問題篇/解答篇 1981-2020〔40年分〕

新品価格
¥19,800から
(2022/7/14 17:48時点)


【解答】(1) $1/x=t$ とおくと、$x\rightarrow 0$ のとき $t\rightarrow 0$ となるので、最後に $\sin{x}/x$ についての極限公式を使うと
 \[\lim_{x\rightarrow\infty}x\sin\frac{1}{x}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sin t}{t}=1\]
となります。

(2) 三角関数の基本性質として、任意の実数 $x$ に対して
 \[0\leq\left|\,\sin\frac{1}{x}\right|\leq 1\]
が成り立ちます。両辺に $|x|$ をかけると、
 \[0\leq\left|\,x\sin\frac{1}{x}\right|\leq|x|\]
が成り立ちます。はさみ打ちの原理によって
 \[0\leq\lim_{x\rightarrow 0}\left|\, x\sin\frac{1}{x}\right|\leq \lim_{x\rightarrow 0}|x|=0\]
となるので、
 \[\lim_{x\rightarrow 0}x\sin\frac{1}{x}=0\]
となります。

エクセルや数学に関するコメントをお寄せください