アステロイド(星芒形)の面積と長さ

アステロイド曲線の定義

 アステロイド (asteroid) はギリシア語の「星のような形」に由来する図形で、星芒形 あるいは 星形 ともよばれます。また4つの尖点を持つことから、四尖点形 (tetracuspid) の名称でよばれることもあります。アステロイドは、図のように半径 $a$ の大円の内側を半径 $a/4$ の小円が滑ることなく転がるときに、小円の円周上の点が描く軌跡として定義されます。

 Excel アステロイド曲線の面積と弧の長さ

 アステロイドの代数曲線は

\[x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\]

によって与えられ、$t$ を媒介変数として

\[x=a\cos^3t,\:\:y=a\sin^3t\quad (a\gt 0)\]

と表すこともできます。媒介変数 $t$ が

\[t\::\:0\quad\longrightarrow\quad\frac{\pi}{2}\quad\longrightarrow\quad\pi\quad\longrightarrow\quad\frac{3}{2}\pi\quad\longrightarrow\quad 2\pi\]
を動くとき $x,\:\:y$ は
 
\[\begin{align*}&x\::\:a\quad\longrightarrow\quad 0\quad\longrightarrow\quad -a\quad\longrightarrow\quad 0\quad\longrightarrow\quad a\\[6pt]
&y\::\:0\quad\longrightarrow\quad a\quad\longrightarrow\quad 0\quad\longrightarrow\quad -a\quad\longrightarrow\quad 0\end{align*}\]
を動いてちょうど一周します。アステロイドは スーパー楕円
 
\[\left|{\frac{x}{a}}\right|^k+\left|{\frac{y}{b}}\right|^k=1\]
において $k=2/3,\:\:a=b$ とおいた形とみることもできます。
 

アステロイドの面積

 アステロイドの媒介変数表示
 
\[x=a\cos^3t,\:\:y=a\sin^3t\quad (a\gt 0)\]
を用いて曲線に囲まれた内側の面積を計算することができます。第 1 象限の面積を 4 倍すればいいので、
 
\[S=4\int_{0}^{a}ydx=4\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}y\frac{dx}{dt}dt\]
 $dx/dt$ を計算すると
 
\[\frac{dx}{dt}=3a\cos^2t(-\sin t)\]
となるので、
 
\[\begin{align*}S=&\,12a^2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^4t\cos^2tdt\\[6pt]
=&\,12a^2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^4t(1-\sin^2t)dt\\[6pt]
=&\,12a^2\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^4tdt-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^6t\right)\end{align*}\]
 ここで $\displaystyle a_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^ntdt$ とおくと、漸化式
 
\[a_0=\frac{\pi}{2},\:\:a_1=1,\:\:a_n=\frac{n-1}{n}a_{n-2}\]
によって定積分を計算することができます。$\displaystyle a_6=\frac{5}{6}a_4$ なので、
 
\[S=12a^2\left(a_4-\frac{5}{6}a_4\right)=2a^2\cdot a_4=2a^2\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{3}{8}\pi a^2\]
となります。
 

アステロイドの長さ

 $x,\;y$ が媒介変数 $t$ で表されたときの曲線の長さは
 
\[L=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt\]
で計算することができます。この公式を使ってアステロイド
 
\[x=a\cos^3t,\:\:y=a\sin^3t\quad (a\gt 0)\]
の1周分の長さを計算してみます。
 
\[\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2=9a^2\cos^2t\sin^2t\]
となるので、
 
\[L=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}3a\cos t\sin tdt=12a\left[\frac{1}{2}\sin^2 t\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=6a
\]
となります。 ≫ 数学事典

スポンサーリンク
末尾広告
末尾広告

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。