円と直線の2接点の間の距離を求めます

[問題 AG-22] 円と直線の2接点の間の距離を求めます

 図のように原点を中心とした半径 1 の円があり、y 軸上の点 P(0, t) からこの円に接するように2本の直線を引きます (t > 1)。2つの接点 Q, R を結んだ線分の長さを L を t で表し、t が無限に大きくなったときの L の値を求めてください。
 ただし、 t が無限に大きいときは 1 / t2 = 0 として計算してください。

  円と接する2本の直線グラフ

問題 AG-22 のヒント

 何となく直感で作ってみた問題です。ほとんどが数学Ⅰの内容です。
 最後のところで数学Ⅲで習う極限の概念を少し使いますが、あまり難しく考えず、問題文で説明されているように計算してください。

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問題 AG-22 の解答

 直線の方程式を
 
\[y=ax+t \tag{1}\]
とおきます。半径 1 の円の方程式は
 
\[x^2+y^2=1 \tag{2}\]
ですから、(1) を代入すると
 
\[\begin{align*}
&x^2+(ax+t)^2=1\\[6pt]
&(a^2+1)x^2+2atx+t^2-1=0\end{align*}\]
 円と直線は接するのは、この方程式が重解をもつとき、すなわち判別式 D/4 = 0 となるときです。
 
\[\begin{align*}
D/4=&\:a^2t^2-(a^2+1)(t^2-1)=0\\[6pt]
&\therefore \: a^2-t^2+1=0\end{align*}\]
 したがって a は t によって
 
\[a= \pm \sqrt{t^2-1}\]
と表せます(±は2本の直線に対応しています)。また重解 x は
 
\[x=\frac{-at \pm \sqrt{D/4}}{a^2+1}\]
であり、 D/4 = 0 ですから
 
\[x=\frac{-at}{a^2+1}\]
となります。ここに a を代入すると
 
\[x=\frac{\pm t\: \sqrt{t^2-1}}{t^2}=\frac{\pm \sqrt{t^2-1}}{t}\]
のように x を t で表すことができます。この解の大きいほうを α、小さいほうを β とすると、接点を結ぶ線分の長さ L は
 
無限遠から引いた直線\[L=\alpha-\beta=2\:\frac{\sqrt{t^2-1}}{t}=2\sqrt{1-\frac{1}{t^2}}\]
となります。 t を無限に大きくすると 1/t2 = 0 ですから
 
\[L=2\sqrt{1-0}=2\]
となります。つまり y 軸上の無限遠点から引いた接線は x = ±1 で接し、接点を結ぶ線分の長さは円の直径に等しくなります。

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