格子点を結んで三角形を作ります

[問題 PS-08] 格子点を結んで三角形を作ります

Excel格子点 右の図のように、碁盤の目に並んでいる $16$ 個の点から $3$ 個の点を選んで、それらを頂点とする三角形を作ります。全部でいくつの三角形ができますか。
 
 
 
 
 
 

ヒント(三角形を作れない点もあります)

エクセル格子点 右図のように適当に $3$ つの点を選んで三角形を作ります。しかし、中には三角形を作れない点の選び方もあることに注意します。
 
 
 

解答 PS-08

 $16$ 個の格子点から $3$ 個を選ぶ方法は
 
\[{}_{16}\mathrm{C}_{3}=560\;通り\]
ですが、$3$ 点が一直線に並んでいると三角形が作れないので、そういう選び方は除く必要があります。下の図にあるように、$4$ 点が直線上に乗るような線の引き方は、縦に $4$ 本、横に $4$ 本、斜めに $2$ 本の合計 $10$ 本です。
 
 Excelで作成した格子点
 
 それぞれの直線上にある $4$ 点から $3$ 点を選ぶ方法は ${}_{4}\mathrm{C}_{3}$ 通りなので、これらの直線上から $3$ 点を選ぶ方法は全部で
 
\[{}_{4}\mathrm{C}_{3}\times 10=40\;通り\]
となります。次に $3$ 点が一直線に並ぶような状況は下の図にあるように、合計 $4$ 本です。
 
 エクセルで作図した格子点
 
 以上より、格子点を結ぶ三角形は全部で
 
\[560-40-4=516\;個\]
あります。 ≫ [問題09] 道順問題 ≫ 確率統計演習問題

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