等差数列の演習問題

問題 SQ-05 3 または 5 で割り切れる数の総和

 $100$ 以下の自然数で、$3$ または $5$ で割り切れる数の和を求めてください。
 

SQ-05 のヒント

 足し過ぎ(?)に注意です。
 

解答 SQ-05

 $100$ 以下の $3$ の倍数を並べてみます。
 
\[3,\:6,\:9,\:\cdots,\:96,\:99\]
 これは初項 $3$, 末項 $99$ の等差数列です。和を求めるには項数 $n$ が必要です。
 $n$ は $100$ を $3$ で割って、余りを切り捨てて $33$ です。ガウスの記号 $[x]$ を使うと
 
\[n=\left[\frac{100}{3}\right]=33\]
というように求めることができます。$[x]$ は $x$ を超えない整数という意味です。初項 $a_1$, 末項 $a_l$, 項数 $n$ の等差数列の和の公式は
 
\[S=\frac{n(a_1+a_l)}{2}\]
で与えられるので、$100$ 以下の $3$ の倍数の和は
 
\[S_{(3)}=\frac{33(3+99)}{2}=1683\]
となります。次は $5$ の倍数を並べます。
 
\[5,\:10,\:15,\:\cdots,\:85,\:100\]
 初項 $5$, 末項 $100$ の等差数列です。項数は
 
\[n=\left[\frac{100}{5}\right]=20\]
なので、$100$ 以下の $5$ の倍数の和は
 
\[S_{(5)}=\frac{20(5+100)}{2}=1050\]
となります。ここで $S_{(3)}$ と $S_{(5)}$ を足し合わせると、ちょっと足し過ぎになります。

 3または5の倍数の総和

  $S_{(3)}$ と $S_{(5)}$ をそのまま足してしまうと、上の図のように、「$3$ の倍数かつ $5$ の倍数」の部分を余計に加えてしまっていることになります。したがって、この部分、すなわち「$3$ と $5$ の最小公倍数 $15$ で割り切れる数」を差し引かなくてはなりません。$15$ の倍数を並べてみると
 
\[15,\:30,\:45,\:\cdots,\:75,\:90\]
 これは初項 $15$, 末項 $90$ の等差数列です。項数は
 
\[n=\left[\frac{100}{15}\right]=6\]
なので、$100$ 以下の $15$ の倍数の和は
 
\[S_{(15)}=\frac{6(15+90)}{2}=315\]
となります。したがって、求める数は
 
\[S_{(3)}+S_{(5)}-S_{(15)}=1683+1050-315=2418\]
となります。
 
 

問題 SQ-06 間に $k$ 個の数を入れました

 $10$ と $80$ の間に $k$ 個の数を入れて等差数列をつくると総和が $495$ になりました。
 $k$ の値と公差を求めてください。
 

SQ-06 のヒント

 等差数列の和は初項と末項、項数によって計算します。
 

解答 SQ-06

 $10$ と $80$ の間に入れる $k$ 個の数を $a_n\:(n=1,\:2,\:\cdots,\:k)$ とすると、
 
\[10,\:a_1,\:a_2,\:\cdots,\:a_k,\:80\]
 すなわち、項数 $k+2$ の等差数列になります。
 初項 $a_1$、末項 $a_l$、項数 $n$ の等差数列の総和は
 
\[S=\frac{n(a_1+a_l)}{2}\]
で与えられるので、
 
\[495=\frac{(k+2)(10+80)}{2}\]
 これを解いて $k=9$ が得られます。
 $80$ は初項から数えて $11$ 番目の項なので、公差を $d$ とすると
 
\[80=10+(11-1)d\]
 したがって、求める公差は $d=7$ です。
 
 

問題 SQ-07 逆数が等差数列をなしています

 数列 $\displaystyle\frac{1}{a_n}$ は等差数列をなし、$a_4=6,\:a_6=4$ です。
 一般項 $a_n$ を求めて $a_{10}$ を計算してください。
 

SQ-07 のヒント

 公差を求めましょう。
 

解答 SQ-07

 数列 $\displaystyle\frac{1}{a_n}$ の公差を $d$ とすると
 
\[f(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{1}{a_6}-\frac{1}{a_5} &=d\\[6pt]
\displaystyle\frac{1}{a_5}-\frac{1}{a_4} &=d\end{cases}\]
が成り立ちます。すなわち、
 
\[f(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{1}{4}-\frac{1}{a_5} &=d\\[6pt]
\displaystyle\frac{1}{a_5}-\frac{1}{6} &=d\end{cases}\]
 これを解いて $d=\displaystyle\frac{1}{24}$ となります。
 $\displaystyle\frac{1}{a_4}$ から公差の $3$ 倍を引けば初項が得られます。
 
\[\frac{1}{a_1}=\frac{1}{a_4}-3d=\frac{1}{6}-\frac{1}{8}=\frac{1}{24}\]
 したがって、等差数列 $\displaystyle\frac{1}{a_n}$ の一般項は
 
\[\frac{1}{a_n}=\frac{1}{24}+\frac{n-1}{24}=\frac{n}{24}\]
となります。よって $a_n$ は
 
\[a_n=\frac{24}{n}\]
と表せます。$a_{10}$ を計算すると
 
\[a_{10}=\frac{12}{5}\]
となります。
 
 

問題 SQ-08 3 次方程式の 3 解が等差です

 方程式 $x^3-9x^2+2x+k=0$ の $3$ 解が等差であるとき、$k$ の値と解を求めてください。

SQ-08 のヒント

 $3$ 個の解を等差であるような形で表しましょう。
 しかし、それを直接方程式に入れると計算が大変です。

 ≫ 数学の演習問題はこちらにまとめてあります

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