高階導関数とライプニッツの公式

 

高階導関数 High Derivative

 関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を微分して得られる関数 $f''(x)$ を 2 階導関数とよびます。
 $f''(x)$ をもう1度微分した関数 $f'''(x)$ は 3 階導関数です。
 $f''(x),\:f'''(x)$ を $f^{(2)}(x),\:f^{(3)}(x)$ と書くこともあります。
 一般に関数 $f(x)$ を $n$ 回微分した関数を $n$ 階導関数 とよび
 
\[f^{n}(x),\quad \frac{d^n}{dx^n}f(x),\quad \left( \frac{d}{dx} \right)\]
などの記号で表します。

$f(x)=x^n$ の $n$ 階導関数

 例として $f(x)=x^n$ の $n$ 階導関数を求めてみます。
 
\[\begin{align*}&f'(x)=nx^{n-1}\\[6pt]
&f''(x)=n(n-1)x^{n-2}\\[6pt]
&f^{(3)}(x)=n(n-1)(n-2)x^{n-3}\end{align*}\]
 以下同じように繰り返すと
 
\[f^{(n)}(x)=n(n-1)(n-2)\: \cdots \: 2\cdot 1=n!\]
となります。

$f(x)=\sin x$ の $n$ 階導関数

 $f(x)=\sin x$ は 4 回微分すると元の関数の形に戻ります。
 
\[f'(x)=\cos x,\quad f''(x)=-\sin x,\quad f^{(3)}(x)=-\cos x,\quad f^{(4)}(x)=\sin x\]
 これらをまとめて次のように表すことができます。

$f^{(n)}(x)=(-1)^{(n-1)/2}\cos x$ ($n$ が奇数のとき)

$f^{(n)}(x)=(-1)^{n/2}\sin x$ ($n$ が偶数のとき)

 

ライプニッツの公式 Leibniz Formula

 $f(x)$ と $g(x)$ の積の微分
 
\[\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f'g+fg'\]
をもう1度微分すると
 
\[\frac{d^2}{dx^2}[f(x)g(x)]=f''g+2f'g'+fg''\]
となります。さらにもう1度微分すると
 
\[\frac{d^3}{dx^3}[f(x)g(x)]=f'''g+3f''g'+3f'g''+fg'''\]
となります。これを繰り返して ライプニッツの微分公式 (Leibniz formula)

\[\frac{d^n}{dx^n}[f(x)g(x)]=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}\]

が得られます。ただし $\displaystyle \binom{n}{k}$ は 2 項係数であり

\[\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\: \cdots \cdots \: (n-k+1)}{k!}\]
と表されます。

$f(x)=x^2e^x$ の $n$ 階導関数

 例として $f(x)=x^2e^x$ の $n$ 階導関数を求めてみます。
 
\[\begin{align*}
\frac{d^3}{dx^3}(x^2e^x)&=(x^2)'''e^x+3(x^2)''(e^x)'+3(x^2)'(e^x)''+x^2(e^x)'''\\[6pt]
&=6e^x+6xe^x+x^2e^x=(x^2+6x+6)e^x\end{align*}\]
 

Cn 級関数 Class Cn

 関数 $f(x)$ が連続であるとき「関数 $f(x)$ は $C^0$ 級に属している」といいます。
 また $f(x)$ が 1 回微分可能で、その導関数 $f'(x)$ が連続であることを「 $C^1$ 級に属している」といいます。この定義からわかるように、$C^1$ 級に属している関数は同時に $C^0$ 級にも属しています。一般に関数 $f(x)$ が $n$ 回連続微分可能で、$f^{(n)}(x)$ が連続であるならば、その関数は「 $C^{n}$ 級に属している」といいます。

$C^0$ 級関数

 たとえば $y=|x|$ は連続なので $C^0$ 級に属していますが、$x=0$ で $f'(x)$ が定義されないので $C^1$ 級には属していません。

$C^1$ 級関数

 次のような関数を考えます。
 
\[f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^2 \quad &(x\geq 0)\\[6pt]
-x^2 \quad &(0 \lt x)\end{matrix}\right.\]
 この関数は連続なので $C^0$ 級に属しています。微分すると
 
\[f'(x)=\left\{\begin{matrix}
2x \quad &(x\geq 0)\\[6pt]
-2x \quad &(0 \lt x)\end{matrix}\right.\]
となって、やはり連続なので $C^1$ 級にも属しています。しかし $x=0$ で $f''(x)$ が定義されないので $C^2$ 級には属していません。

$C^{\infty}$ 級関数

 普段扱っているような初等関数のほとんどは何度でも微分可能であり、そのような関数は「 $C^{\infty}$ 級に属している」といいます。たとえば 2 次関数 $f(x)=x^2$ は
 
\[f'(x)=2x,\quad f''(x)=2,\quad f'''(x)=0,\quad f^{(4)}(x)=0,\: ...\]
というように無限回の微分が可能なので $C^{\infty}$ 級に属しています。同じように $\sin x$ や $\cos x$ もまた $C^{\infty}$ 級に属しています。 ≫ 数学辞典

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