モーメント定理とガウス関数のフーリエ変換

 

モーメント定理 Moment theorem

 関数 $f(x)$ の $n$ 次のモーメントは次のように定義されます。

\[m_n=\int_{-\infty}^{\infty}x^n f(x)dx\quad (n=0,1,\cdots)\tag{A}\]

 これは確率や物理学における剛体運動などの分野で多用される積分です。たとえば $n=1$ のときは確率の期待値などを表します。そしてこのモーメントについて次の定理が成り立ちます。

 関数 $f(x)$ のフーリエ変換を
\[F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx\]とすると、モーメント定理
\[(-i)^nm_n=\frac{d^nF(0)}{d\omega^n}\tag{B}\]が成り立ちます。

 この定理は後述するようにガウス関数のフーリエ変換を求める場合などに用いられます。

モーメント定理の証明

 $e^{-i\omega x}$ を級数展開すると
 
\[e^{-i\omega x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-i\omega x)^n}{n!}\]
となるので、これを $F(\omega)$ の式に代入すると
 
\[\begin{align*}
F(\omega)&=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\left[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-i\omega x)^n}{n!}\right] dx\\[6pt]
&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-i\omega)^n}{n!}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)x^ndx\\[6pt]
&=\sum_{n=0}^{\infty}(-i)^n\frac{\omega^n}{n!}m_n\end{align*}\]
 一方で $F(\omega)$ を級数展開すると
 
\[F(\omega)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\omega^n}{n!}\frac{d^nF(0)}{d\omega^n}\]
となるので係数を比較して
 
\[(-i)^nm_n=\frac{d^nF(0)}{d\omega^n}\]
が成り立ちます。
 

ガウス関数のフーリエ変換
 Fourier transform of Gaussian Function

 モーメント定理を用いてガウス関数
 
\[f(x)=e^{-ax^2}\quad (a\gt 0)\tag{C}\]
のフーリエ変換を求めてみます。ガウス関数の積分公式
 
\[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\quad (a\gt 0)\tag{D}\]
を $a$ で $n$ 回微分すると
 
\[\int_{-\infty}^{\infty}x^{2n}e^{-ax^2}dx=\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2^n}\sqrt{\frac{\pi}{a^{2n+1}}}\tag{E}\]
となります。関数 $f(x)$ の $n$ 次のモーメントは
 
\[m_n=\int_{-\infty}^{\infty}x^nf(x)dx\quad (n=0,1,\cdots)\]
によって定義されているので、(E) は $e^{-ax^2}$ の $2n$ 次のモーメントです。モーメント定理の証明の課程で述べたように、$f(x)$ のフーリエ変換 $F(\omega)$ は
 
\[F(\omega)=\sum_{n=0}^{\infty}(-i)^n\frac{\omega^n}{n!}m_n\]
と表すことができます。ガウス関数は偶関数なので
 
\[m_{2n+1}=\int_{-\infty}^{\infty}x^{2n+1}e^{-ax^2}dx=0\]
となり、$F(\omega)$ の表式において $m_n$ の代わりに $m_{2n}$ を使って
 
\[F(\omega)=\sum_{n=0}^{\infty}(-i)^n\frac{\omega^n}{n!}m_{2n}\]
と書くことができます。すなわち
 
\[F(\omega)=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{(2a)^n(2n)!}(-i\omega)^{2n}\tag{F}\]
となります。ここで $\displaystyle \exp\left( -\frac{\omega^2}{4a}\right)$ の級数展開を考えると
 
\[\begin{align*}\exp\left( -\frac{\omega^2}{4a}\right)&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left( -\cfrac{\omega^2}{4a}\right)^2}{n!}\\[6pt]
&=\frac{(-1)^n\omega^{2n}}{(2a)^n2^nn!}\\[6pt]
&=\frac{(-1)^n\omega^{2n}}{(2a)^n(2n)(2n-2)\cdots2\cdot1}\\[6pt]
&=\frac{(-1)^n\omega^{2n}(2n-1)(2n-3)\cdots3\cdot1}{(2a)^n(2n)(2n-2)\cdots2\cdot1}\\[6pt]
&=\frac{(-1)^n\omega^{2n}(2n-1)(2n-3)\cdots3\cdot1}{(2a)^n(2n)!}\end{align*}\]
となって、これは (F) の和の部分と一致します。よってガウス関数のフーリエ変換は
 
\[F(\omega)=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\exp\left( -\frac{\omega^2}{4a}\right)\]
となります。 ≫ 数学事典

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